A função z=f(x, y) é dada como uma função implícita. Encontre
partial zpartial x, partial zpartial y e
1x+1y+1z-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A função está definida de forma implícita pela equação . Vamos usar a diferenciação implícita para achar essas derivadas, que é uma técnica que a gente usa quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar 1x + 1y + 1z - 1 = 0 . Para isso, vamos derivar a equação inteira em relação a ddx(1x) + ddx(1y) + ddx(1z) - ddx(1) = 0 , lembrando que ddx(1z) = -1z^2 cdot partial zpartial x é tratada como uma constante quando derivamos em relação a -1x^2 + 0 - 1z^2 cdot partial zpartial x - 0 = 0 .
A equação é:
-1x^2 - 1z^2 cdot partial zpartial x = 0
Derivando em relação a -1z^2 cdot partial zpartial x = 1x^2 :
partial zpartial x = -z^2 cdot 1x^2 = -z^2x^2
Vamos derivar cada termo:
  1. (porque é constante em relação a )
  2. Usamos a regra da cadeia para :
Substituindo tudo de volta na equação derivada:
Simplificando:
Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos encontrar ddy(1x) + ddy(1y) + ddy(1z) - ddy(1) = 0 . O processo é bem parecido com o que fizemos para ddy(1z) = -1z^2 cdot partial zpartial y . Derivamos a equação inteira em relação a 0 - 1y^2 - 1z^2 cdot partial zpartial y - 0 = 0 , tratando -1y^2 - 1z^2 cdot partial zpartial y = 0 como constante.
Derivando a equação:
-1z^2 cdot partial zpartial y = 1y^2
Vamos derivar cada termo:
  1. partial zpartial y = -z^2 cdot 1y^2 = -z^2y^2 (porque é constante em relação a )
  2. Usamos a regra da cadeia para :
Substituindo na equação derivada:
Simplificando:
Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -z^2x^2 e partial zpartial y = -z^2y^2

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