A função
é dada como uma função implícita. Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. A função
está definida de forma implícita pela equação
. Vamos usar a diferenciação implícita para achar essas derivadas, que é uma técnica que a gente usa quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos derivar a equação inteira em relação a
, lembrando que
é tratada como uma constante quando derivamos em relação a
.
A equação é:
Derivando em relação a
:
Vamos derivar cada termo:
-
-
(porque é constante em relação a ) -
Usamos a regra da cadeia para
:
Substituindo tudo de volta na equação derivada:
Simplificando:
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. O processo é bem parecido com o que fizemos para
. Derivamos a equação inteira em relação a
, tratando
como constante.
Derivando a equação:
Vamos derivar cada termo:
-
(porque é constante em relação a ) -
-
Usamos a regra da cadeia para
:
Substituindo na equação derivada:
Simplificando:
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Encontre os integrais de linha sobre curvas:
, onde
é o segmento de
a
;
Calcule os limites a baixo
b)
b)
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l)
l)