Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b) S = 1 + 2/3 + 3/9 + 4/27 + 5/81 + ....

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar a série através de um somatório. Além disso, precisamos verificar para quais valores de essa série converge, usando as séries de Maclaurin que estudamos em sala. Vamos usar conceitos de séries infinitas e convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série para expressá-la como um somatório. Observando os termos:
Percebe-se que o numerador cresce de 1 em 1 e o denominador é uma potência de 3. Então, o -ésimo termo da série pode ser representado por:
Portanto, a série pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever o denominador para facilitar:
Então, a série fica:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar da série de Maclaurin para , que é:
Comparando com a nossa série , podemos identificar que . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa série original:

Resposta

A série pode ser expressa como e converge para .

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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
q) f(x) = arctan(x^2)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l) f(x) = (1 + x^2) cos(x)
Verifique que as séries abaixo convergem absolutamente nos intervalos dados:
a) sumk=1^infty x^kk! em[-r ; r], forall r>0.
Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
d) sum(-1)^n an 9^n