Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar a série
através de um somatório. Além disso, precisamos verificar para quais valores de
essa série converge, usando as séries de Maclaurin que estudamos em sala. Vamos usar conceitos de séries infinitas e convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da série para expressá-la como um somatório. Observando os termos:
Percebe-se que o numerador cresce de 1 em 1 e o denominador é uma potência de 3. Então, o
-ésimo termo da série pode ser representado por:
Portanto, a série pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever o denominador para facilitar:
Então, a série fica:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar da série de Maclaurin para
, que é:
Comparando com a nossa série
, podemos identificar que
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Voltando à nossa série original:
Resposta
A série
pode ser expressa como
e converge para
.