Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
f(x, y) = (x^2 + y^2) * e^(-x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, o exercício pede para encontrarmos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada, para identificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem estar os extremos ou pontos de sela.
Calculemos e :
Fatorando :
Similarmente, para :

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Isso acontece quando:
e
Como nunca é zero, as soluções vêm de:
  1. e
  2. , ou seja,

Passo 4

Vamos analisar os casos:
  1. Ponto (0, 0):
    Aqui, e . Este ponto é um candidato a mínimo ou ponto de sela.
  2. Circunferência :
    Todos os pontos nesta circunferência também são críticos. Precisamos verificar a natureza desses pontos.

Passo 5

Para determinar a natureza dos pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas segundas:
Depois, calculamos o discriminante .
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.

Passo 6

Analisando o ponto (0, 0):
Após calcular as derivadas segundas e o discriminante, verifica-se que , indicando que (0, 0) é um ponto de sela.
Para os pontos na circunferência :
Aqui, o discriminante e , então cada ponto na circunferência é um máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Ponto de sela em .
  • Máximos locais em todos os pontos da circunferência .

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