Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para encontrarmos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada, para identificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem estar os extremos ou pontos de sela.
Calculemos
e
:
Fatorando
:
Similarmente, para
:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Isso acontece quando:
e
Como
nunca é zero, as soluções vêm de:
-
e -
, ou seja,
Passo 4
Vamos analisar os casos:
-
Ponto (0, 0):
Aqui,e . Este ponto é um candidato a mínimo ou ponto de sela. -
Circunferência
:
Todos os pontos nesta circunferência também são críticos. Precisamos verificar a natureza desses pontos.
Passo 5
Para determinar a natureza dos pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas segundas:
Depois, calculamos o discriminante
.
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela.
Passo 6
Analisando o ponto (0, 0):
Após calcular as derivadas segundas e o discriminante, verifica-se que
, indicando que (0, 0) é um ponto de sela.
Para os pontos na circunferência
:
Aqui, o discriminante
e
, então cada ponto na circunferência é um máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Ponto de sela em
. - Máximos locais em todos os pontos da circunferência
.
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A função
é dada como uma função implícita. Encontre
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, onde
é o segmento de
a
;
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
l)
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