II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar as séries de Maclaurin conhecidas da função seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as séries de Maclaurin para as funções e
:
Essas séries são expansões em potências de
que representam as funções seno e cosseno próximas de
.
Passo 3
Agora, temos que encontrar a série de Maclaurin para . Podemos fazer isso substituindo
por
na série de
:
Passo 4
Agora, multiplicamos a série de pela série de
:
Multiplicando essas duas séries, obtemos uma nova série onde os termos de
se combinam.
Passo 5
Para simplificar, vamos multiplicar termo a termo:
Podemos reorganizar os termos para obter a série de Maclaurin de
:
Onde
são os coeficientes que resultam da combinação dos termos anteriores.
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência, observamos que tanto as séries de quanto de
têm raio de convergência infinito. Quando multiplicamos duas séries com raios de convergência infinitos, o raio de convergência da série resultante também será infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para é:
Onde os coeficientes
são determinados pela multiplicação das séries de e
. O raio de convergência dessa série é infinito.