II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k) f(x) = sen(x) cos(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar as séries de Maclaurin conhecidas da função seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as séries de Maclaurin para as funções e :
Essas séries são expansões em potências de que representam as funções seno e cosseno próximas de .

Passo 3

Agora, temos que encontrar a série de Maclaurin para . Podemos fazer isso substituindo por na série de :

Passo 4

Agora, multiplicamos a série de pela série de :
Multiplicando essas duas séries, obtemos uma nova série onde os termos de se combinam.

Passo 5

Para simplificar, vamos multiplicar termo a termo:
Podemos reorganizar os termos para obter a série de Maclaurin de :
Onde são os coeficientes que resultam da combinação dos termos anteriores.

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, observamos que tanto as séries de quanto de têm raio de convergência infinito. Quando multiplicamos duas séries com raios de convergência infinitos, o raio de convergência da série resultante também será infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
Onde os coeficientes são determinados pela multiplicação das séries de e . O raio de convergência dessa série é infinito.

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