II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f) f(x) = arctan(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de séries de Maclaurin. A pergunta pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Maclaurin, como derivar termos dessa série e como determinar o raio de convergência usando testes de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de . A fórmula geral é:
Isso significa que para cada termo da série, a gente precisa calcular a enésima derivada da função avaliada em 0, dividir por e multiplicar por .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em 0.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:
E assim por diante. Observando o padrão, percebemos que as derivadas ímpares avaliam-se de maneira não nula em 0, e as pares são zero.

Passo 4

Para simplificar, podemos usar a expansão em série conhecida de , que é uma série geométrica:
Agora, para encontrar a série de , integramos essa série termo a termo:
Como , a constante .

Passo 5

Então, a série de Maclaurin para é:
Isso significa que podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão. Considerando o termo geral , aplicamos:
Para a série convergir, precisamos que :

Resposta

A série de Maclaurin de é
e o raio de convergência dessa série é .

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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a) f(x) = 3 - x^2 + 7 x^4 - x^5
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c) f(x) = sen x
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k) f(x) = sen(x) cos(2x)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p) f(x) = (1 - x) ln(1 + x)