II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de séries de Maclaurin. A pergunta pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Maclaurin, como derivar termos dessa série e como determinar o raio de convergência usando testes de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de
. A fórmula geral é:
Isso significa que para cada termo da série, a gente precisa calcular a enésima derivada da função
avaliada em 0, dividir por
e multiplicar por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em 0.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada é:
E assim por diante. Observando o padrão, percebemos que as derivadas ímpares avaliam-se de maneira não nula em 0, e as pares são zero.
Passo 4
Para simplificar, podemos usar a expansão em série conhecida de
, que é uma série geométrica:
Agora, para encontrar a série de
, integramos essa série termo a termo:
Como
, a constante
.
Passo 5
Então, a série de Maclaurin para
é:
Isso significa que podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão. Considerando o termo geral
, aplicamos:
Para a série convergir, precisamos que
:
Resposta
A série de Maclaurin de
é
e o raio de convergência dessa série é
.
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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
a)
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Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
c)
c)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
k)
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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
p)
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