II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a série de Maclaurin para a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Séries de Maclaurin são expansões em série de funções em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial
e entender como manipular séries para outras funções, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para
. Sabemos que:
Isso significa que podemos expandir
substituindo
por
na série de
:
Passo 3
Agora, temos que subtrair
da série de
. A função
pode ser representada como uma série de Maclaurin simples:
Onde apenas
e todos os demais coeficientes são zero. Então, a série para
fica:
Podemos reescrever isso separando o termo linear:
Passo 4
Simplificando, temos:
Então, a série de Maclaurin para
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
tem raio de convergência infinito, porque a série de
converge para todo
. Quando substituímos
por
, isso não altera o fato de que a série converge para todo
. A subtração de
também não afeta o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin de
é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)
e)
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)
b)
Se o limite for uma forma indeterminada, calcule-o usando a regra de La) (vale 1,5 ponto)
Calcule os limites laterais indicados.
Calcule .
Calcule