II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a série de Maclaurin para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Séries de Maclaurin são expansões em série de funções em torno de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial e entender como manipular séries para outras funções, como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para . Sabemos que:
Isso significa que podemos expandir substituindo por na série de :

Passo 3

Agora, temos que subtrair da série de . A função pode ser representada como uma série de Maclaurin simples:
Onde apenas e todos os demais coeficientes são zero. Então, a série para fica:
Podemos reescrever isso separando o termo linear:

Passo 4

Simplificando, temos:
Então, a série de Maclaurin para é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de tem raio de convergência infinito, porque a série de converge para todo . Quando substituímos por , isso não altera o fato de que a série converge para todo . A subtração de também não afeta o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da série de Maclaurin de é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
e)
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
b)
Se o limite for uma forma indeterminada, calcule-o usando a regra de La) (vale 1,5 ponto)
Calcule os limites laterais indicados.
Calcule .