Transforme as matrizes a seguir em matrizes equivalentes na forma escada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar quatro matrizes diferentes (A, B, C e D) em formas equivalentes na forma escada. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de redução de matrizes usando operações de linha. Para resolver isso, vamos precisar aplicar três operações básicas nas linhas das matrizes: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra linha. Essas operações ajudam a organizar a matriz de forma que ela siga o padrão em “escada”, onde cada linha abaixo tem um pivô (o primeiro número diferente de zero) mais à direita do que a linha acima.
Passo 2
Vamos começar com a matriz A:
Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1 para facilitar os cálculos. Podemos fazer isso dividindo toda a primeira linha por 2.
Nova matriz A:
Passo 3
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do pivô (1) na primeira coluna. Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 4 * Linha 1
Agora, a matriz A está na forma escada.
Passo 4
Passando para a matriz B:
O primeiro pivô já é 1, então não precisamos modificar a primeira linha. Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna.
Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
A matriz B também está na forma escada.
Passo 5
Agora, vamos para a matriz C:
Primeiro, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha em 1 dividindo toda a primeira linha por 2.
Nova matriz C:
Passo 6
Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
Linha 2 = Linha 2 - 4 * Linha 1
Linha 3 = Linha 3 + 1 * Linha 1
Passo 7
Agora, focamos na segunda coluna da terceira linha. Para deixar o pivô nessa posição, dividimos a terceira linha por 5.5:
Linha 3 = Linha 3 / 5.5
Passo 8
Por fim, eliminamos o elemento acima do pivô na segunda coluna:
Linha 1 = Linha 1 - 0.5 * Linha 3
A matriz C está agora na forma escada.
Passo 9
Finalmente, transformamos a matriz D:
Primeiro, vamos dividir a primeira linha por 2 para obter o pivô 1:
Linha 1 = Linha 1 / 2
Passo 10
Eliminamos os elementos abaixo do pivô na primeira coluna:
Linha 2 = Linha 2 - 4 * Linha 1
Linha 3 = Linha 3 + 1 * Linha 1
Linha 4 = Linha 4 - 3 * Linha 1
Passo 11
Agora, focamos na segunda coluna. Já temos um pivô na segunda linha, terceira coluna. Vamos trocar a segunda e terceira linhas para ter um pivô na segunda coluna:
Troca Linha 2 e Linha 3
Passo 12
Vamos transformar o pivô da segunda linha em 1 dividindo a segunda linha por 5.5:
Linha 2 = Linha 2 / 5.5
Passo 13
Eliminamos os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna:
Linha 1 = Linha 1 - 0.5 * Linha 2
Linha 4 = Linha 4 + 3.5 * Linha 2
Simplificando:
Passo 14
Finalmente, eliminamos o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
Linha 4 = Linha 4 - \frac{33}{5.5} * Linha 3
Calculando:
Dividindo a quarta linha por -11 para deixar o pivô como 1: