Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo sobre séries geométricas e o teste da razão, que ajudam a determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da série. Observamos que cada termo da série pode ser escrito como
, que também é igual a
. Isso lembra uma série geométrica, onde cada termo é a razão
multiplicada pelo termo anterior.
Passo 3
Séries geométricas têm a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. No nosso caso, começamos em
, então podemos ajustar para
.
Passo 4
Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Se
, a série diverge. Vamos verificar isso:
Como
, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Aqui,
é o primeiro termo da série. Mas como nossa série começa em
, o primeiro termo é
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
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