Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, calcule sua soma. sumn=1^infty 1e^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo sobre séries geométricas e o teste da razão, que ajudam a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da série. Observamos que cada termo da série pode ser escrito como , que também é igual a . Isso lembra uma série geométrica, onde cada termo é a razão multiplicada pelo termo anterior.

Passo 3

Séries geométricas têm a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum. No nosso caso, começamos em , então podemos ajustar para .

Passo 4

Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão r = 1e approx 0,3679 for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge. Vamos verificar isso:
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Aqui, é o primeiro termo da série. Mas como nossa série começa em , o primeiro termo é .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
S = 1e1 - 1e = 1ee - 1e = 1e times ee - 1 = 1e - 1

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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