Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver a equação diferencial ordinária dada:
Isso está relacionado ao estudo de como uma função
muda em relação a
. Para resolver essa equação, vamos usar o método de Bernoulli, que é uma técnica para resolver certos tipos de equações diferenciais não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
Agora, observamos que a equação tem a forma padrão da equação de Bernoulli:
Aqui, comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Como
, temos:
Rearranjando:
Agora, essa é uma equação linear em
.
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito, fazemos uma substituição
, então
, ou seja,
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, calcule sua soma.