Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: 1,5 pt (dy/dx) - 2 x y = x y^2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a equação diferencial ordinária dada:
Isso está relacionado ao estudo de como uma função muda em relação a . Para resolver essa equação, vamos usar o método de Bernoulli, que é uma técnica para resolver certos tipos de equações diferenciais não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
Agora, observamos que a equação tem a forma padrão da equação de Bernoulli:
Aqui, comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Como , temos:
Rearranjando:
Agora, essa é uma equação linear em .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . No lado direito, fazemos uma substituição , então , ou seja, :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , então:
Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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