Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = sen(x), y = cos(x) de x = 0 até x = pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e no intervalo de até . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver esse problema. Precisaremos entender como calcular a área entre duas curvas usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado. Vamos comparar e de até .
Sabemos que:
  • Em : e está acima.
  • Em : e → elas se igualam.
Agora, vamos verificar em um ponto intermediário, por exemplo, :
  • Ainda está acima.
Então, está sempre acima de nesse intervalo.

Passo 3

A próxima etapa é usar a fórmula para calcular a área entre duas curvas. A área entre e de até é dada por:
No nosso caso, e , com e . Então, a fórmula fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Agora vamos calcular os valores:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 6

Agora, somando as duas partes para encontrar a área total:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e de até é igual a 1 unidade de área.

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