Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
de
até
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver esse problema. Precisaremos entender como calcular a área entre duas curvas usando integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado. Vamos comparar
e
de
até
.
Sabemos que:
- Em
: e → está acima. - Em
: e → elas se igualam.
Agora, vamos verificar em um ponto intermediário, por exemplo,
:
-
-
- Ainda
está acima.
Então,
está sempre acima de
nesse intervalo.
Passo 3
A próxima etapa é usar a fórmula para calcular a área entre duas curvas. A área
entre
e
de
até
é dada por:
No nosso caso,
e
, com
e
. Então, a fórmula fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora vamos calcular os valores:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 6
Agora, somando as duas partes para encontrar a área total:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
de
até
é igual a 1 unidade de área.
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