Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: 1.5pt x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = x^3 ln(x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos passo a passo entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo não homogêneo (ou seja, sem o lado direito):
Essa é uma equação do tipo equação equidimensional ou Euler, onde os coeficientes das derivadas são potências de . Para resolver, assumimos uma solução do tipo , onde é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Vamos derivar :
  • A primeira derivada é
  • A segunda derivada é
Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Fatorando :
Isso nos leva à equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções individuais:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas, e será escolhido para que a forma de não coincida com a solução homogênea.

Passo 7

Vamos tentar (já que o termo não homogêneo é e não está na solução homogênea). Assim, nossa suposição é:
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 8

Agora, substituímos , e na equação original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:
Simplificando:
Isso reduz para:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :

Passo 10

Com e , a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da equaç��o diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: 1,5 pt (dy/dx) - 2 x y = x y^2
Resolva o problema de valor inicial
y'' + 9y = 3 delta(t - pi), y(0) = 1, y'(0) = 0
Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, calcule sua soma. sumn=1^infty 1e^n
Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo
X' = (2 -3; 1 -2) X