Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos passo a passo entender como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo não homogêneo (ou seja, sem o lado direito):
Essa é uma equação do tipo equação equidimensional ou Euler, onde os coeficientes das derivadas são potências de
. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos descobrir.
Passo 3
Vamos derivar
:
- A primeira derivada é
- A segunda derivada é
Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Isso nos leva à equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções individuais:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas, e
será escolhido para que a forma de
não coincida com a solução homogênea.
Passo 7
Vamos tentar
(já que o termo não homogêneo é
e não está na solução homogênea). Assim, nossa suposição é:
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 8
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:
Simplificando:
Isso reduz para:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 10
Com
e
, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equaç��o diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo