Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo
X' = (2 -3; 1 -2) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais linear homogêneo que você me passou. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas de equações diferenciais e autovalores (ou valores próprios). Para resolver, a gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz do sistema:
Nosso objetivo é encontrar os valores próprios dessa matriz, que são os lambda que satisfazem a equação característica , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a determinante de :
A determinante é:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Então:
A equação característica fica:

Passo 5

Resolvendo , temos:
Então, os valores próprios são e .

Passo 6

Agora, para cada valor próprio, vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Vamos começar com .
Substituímos na matriz :
Resolvendo :
Isso significa que . Podemos escolher , então o vetor próprio é:

Passo 7

Agora, vamos para .
Substituindo na matriz :
Resolvendo :
Isso dá . Podemos escolher , então o vetor próprio é:

Passo 8

Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Ela é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e vetor próprio.

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determináveis pelas condições iniciais.

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