Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais linear homogêneo que você me passou. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas de equações diferenciais e autovalores (ou valores próprios). Para resolver, a gente precisa encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz do sistema:
Nosso objetivo é encontrar os valores próprios dessa matriz, que são os
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a determinante de
:
A determinante é:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então:
A equação característica fica:
Passo 5
Resolvendo
, temos:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 6
Agora, para cada valor próprio, vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Vamos começar com
.
Substituímos na matriz
:
Resolvendo
:
Isso significa que
. Podemos escolher
, então o vetor próprio é:
Passo 7
Agora, vamos para
.
Substituindo na matriz
:
Resolvendo
:
Isso dá
. Podemos escolher
, então o vetor próprio é:
Passo 8
Com os valores próprios e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Ela é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e vetor próprio.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determináveis pelas condições iniciais.
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de
até
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