Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a função
como uma série de potências usando a série binomial e determinar o raio de convergência.
Aqui, estamos lidando com séries de potências e a série binomial, que é uma ferramenta para expandir expressões do tipo
em séries infinitas. Vamos precisar transformar a função dada nessa forma para aplicar a série binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma maneira que se pareça com
. Podemos fazer isso fatorando o termo dentro da raiz:
Mas para usar a série binomial, precisamos que a expressão esteja na forma
. Então, vamos fatorar 1 de dentro da raiz:
Agora, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora que temos
, onde
, podemos aplicar a série binomial. A série binomial para
é dada por:
onde
é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular os primeiros termos dessa série para entender melhor. Calculando os coeficientes binomiais:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Portanto, a série fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos a condição de convergência da série binomial, que é válida para
, ou seja:
Isso significa que a série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A função
pode ser escrita como uma série de potências utilizando a série binomial da seguinte forma:
O raio de convergência dessa série é
.