Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
b) g(x) = raiz(x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a função como uma série de potências usando a série binomial e determinar o raio de convergência.
Aqui, estamos lidando com séries de potências e a série binomial, que é uma ferramenta para expandir expressões do tipo em séries infinitas. Vamos precisar transformar a função dada nessa forma para aplicar a série binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que se pareça com . Podemos fazer isso fatorando o termo dentro da raiz:
Mas para usar a série binomial, precisamos que a expressão esteja na forma . Então, vamos fatorar 1 de dentro da raiz:
Agora, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora que temos , onde , podemos aplicar a série binomial. A série binomial para é dada por:
onde é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos dessa série para entender melhor. Calculando os coeficientes binomiais:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Portanto, a série fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos a condição de convergência da série binomial, que é válida para , ou seja:
Isso significa que a série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A função pode ser escrita como uma série de potências utilizando a série binomial da seguinte forma:
O raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados