Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
f)

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que determinar a série de Taylor (ou Maclaurin) da função centrada em e verificar se a função é igual à sua série de Taylor. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função centrada em é uma infinidade de termos que aproximam a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
E assim por diante.
Agora, vamos avaliar essas derivadas em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Essa é a série de Taylor da função centrada em .

Passo 5

Para verificar se a função é igual à sua série de Taylor, precisamos analisar o intervalo de convergência da série. Como estamos expandindo em torno de e é uma função analítica nesse ponto, a série de Taylor converge para dentro de um intervalo onde a função é contínua e diferenciável.

Resposta

A série de Taylor da função centrada em é:
Além disso, dentro do intervalo de convergência, a função é igual à sua série de Taylor centrada em 16.

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