Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
f)
f)
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que determinar a série de Taylor (ou Maclaurin) da função
centrada em
e verificar se a função é igual à sua série de Taylor. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
é uma infinidade de termos que aproximam a função perto desse ponto. A fórmula geral é:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
E assim por diante.
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Essa é a série de Taylor da função
centrada em
.
Passo 5
Para verificar se a função é igual à sua série de Taylor, precisamos analisar o intervalo de convergência da série. Como estamos expandindo em torno de
e
é uma função analítica nesse ponto, a série de Taylor converge para
dentro de um intervalo onde a função é contínua e diferenciável.
Resposta
A série de Taylor da função
centrada em
é:
Além disso, dentro do intervalo de convergência, a função
é igual à sua série de Taylor centrada em 16.
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e
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.
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