Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a questão que pede para encontrar a série de Maclaurin da função . Série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor que é centrada em . Para isso, vamos precisar saber como expandir funções exponenciais em séries e entender um pouquinho sobre derivadas, já que elas são usadas para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin para é:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos onde cada termo é dividido por (fatorial de ).

Passo 3

Agora, queremos a série para . Podemos adaptar a série de substituindo por :
Aqui, cada termo da série é dividido por .

Passo 4

Vamos expandir alguns termos para ver como fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para verificar se a função é igual à sua série de Maclaurin, podemos observar que a série converge para para todo valor de . Isso ocorre porque a série de Maclaurin para funções exponenciais tem um raio de convergência infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de é
E, de fato, a função é igual à sua série de Maclaurin para todo .

Exercícios relacionados

Mostre que se então
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
h)
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: .