Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)
e)
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver a questão que pede para encontrar a série de Maclaurin da função
. Série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor que é centrada em
. Para isso, vamos precisar saber como expandir funções exponenciais em séries e entender um pouquinho sobre derivadas, já que elas são usadas para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin para
é:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos onde cada termo é
dividido por
(fatorial de
).
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Podemos adaptar a série de
substituindo
por
:
Aqui, cada termo da série é
dividido por
.
Passo 4
Vamos expandir alguns termos para ver como fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para verificar se a função
é igual à sua série de Maclaurin, podemos observar que a série converge para
para todo valor de
. Isso ocorre porque a série de Maclaurin para funções exponenciais tem um raio de convergência infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
E, de fato, a função é igual à sua série de Maclaurin para todo
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
então
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
h)
h)
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades:
.