Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
h)
h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. O enunciado pede para representarmos essa função como uma série de potências e determinar o raio e o intervalo de convergência, se for o caso. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como manipular funções para obter suas expansões em série.
Passo 2
Sabemos que a função básica
pode ser representada como uma série geométrica:
Além disso, sabemos que podemos derivar essa série termo a termo para obter uma série para
.
Passo 3
Vamos derivar a série
em relação a
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, nossa função
pode ser escrita multiplicando
pela série que encontramos:
Passo 5
Vamos mudar o índice da soma para simplificar a expressão. Seja
, ou seja,
. Assim, a série fica:
Portanto, a série de potências para
é:
Passo 6
Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original
tem raio de convergência
. Multiplicar por
não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da nossa série é
.
O intervalo de convergência corresponde aos valores de
para os quais
, ou seja:
Resposta
A função
pode ser representada como a série de potências:
com raio de convergência
e intervalo de convergência
.
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Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
c)
c)
Seja
e
para
. Mostre que:
.
Mostre que se
então
Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)
e)