Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
h)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O enunciado pede para representarmos essa função como uma série de potências e determinar o raio e o intervalo de convergência, se for o caso. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como manipular funções para obter suas expansões em série.

Passo 2

Sabemos que a função básica pode ser representada como uma série geométrica:
Além disso, sabemos que podemos derivar essa série termo a termo para obter uma série para .

Passo 3

Vamos derivar a série em relação a :
Então, temos:

Passo 4

Agora, nossa função pode ser escrita multiplicando pela série que encontramos:

Passo 5

Vamos mudar o índice da soma para simplificar a expressão. Seja , ou seja, . Assim, a série fica:
Portanto, a série de potências para é:

Passo 6

Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original tem raio de convergência . Multiplicar por não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da nossa série é .
O intervalo de convergência corresponde aos valores de para os quais , ou seja:

Resposta

A função pode ser representada como a série de potências:
com raio de convergência e intervalo de convergência .

Exercícios relacionados

Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
c)
Seja e para . Mostre que: .
Mostre que se então
Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)