Beleza, vamos analisar o que a pergunta está pedindo. A gente quer mostrar que, se a sequência converge para algum número quando vai para o infinito, então a média dos primeiros termos dessa sequência também converge para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das médias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, conforme fica bem grande, os termos ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para qualquer número pequeno , existe um número tal que, para todo , a diferença .
Passo 3
Agora, queremos analisar a média . Vamos escrever isso como . Nosso objetivo é mostrar que esse valor também se aproxima de quando cresce.
Passo 4
Vamos dividir a soma em duas partes: os primeiros termos e os termos a partir de . Assim, temos:
Isso ajuda a separar os termos que já estão próximos de dos que podem ainda estar longe, mas como vai para o infinito, a influência dos termos iniciais diminui.
Passo 5
Sabemos que para , . Então, podemos escrever:
Dividindo tudo por :
Passo 6
Vamos analisar cada termo separadamente:
: Como é fixo e cresce, esse termo tende a zero.
: Conforme cresce, tende a zero, então esse termo tende a .
: Como , esse termo é limitado por , que tende a .
Passo 7
Juntando tudo, temos que:
Onde é uma constante que engloba os primeiros termos. Conforme cresce, tende a zero, então a expressão inteira fica menor que .