Mostre que se lim n infty an=a então lim n infty a1+a2+cdots+ann=a

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a pergunta está pedindo. A gente quer mostrar que, se a sequência converge para algum número quando vai para o infinito, então a média dos primeiros termos dessa sequência também converge para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das médias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, conforme fica bem grande, os termos ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para qualquer número pequeno , existe um número tal que, para todo , a diferença .

Passo 3

Agora, queremos analisar a média . Vamos escrever isso como . Nosso objetivo é mostrar que esse valor também se aproxima de quando cresce.

Passo 4

Vamos dividir a soma 1n sumk=1^n ak = 1n ( sumk=1^N ak + sumk=N+1^n ak ) em duas partes: os primeiros termos e os termos a partir de . Assim, temos:
Isso ajuda a separar os termos que já estão próximos de dos que podem ainda estar longe, mas como vai para o infinito, a influência dos termos iniciais diminui.

Passo 5

Sabemos que para sumk=N+1^n ak = sumk=N+1^n (a + (ak - a)) = (n - N)a + sumk=N+1^n (ak - a) , 1n sumk=1^n ak = 1n sumk=1^N ak + (n - N)an + 1n sumk=N+1^n (ak - a) . Então, podemos escrever:
Dividindo tudo por :

Passo 6

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. : Como é fixo e cresce, esse termo tende a zero.
  2. : Conforme cresce, tende a zero, então esse termo tende a .
  3. : Como , esse termo é limitado por , que tende a .

Passo 7

Juntando tudo, temos que:
| 1n sumk=1^n ak - a | <= 1n sumk=1^N |ak| + 1n sumk=N+1^n |ak - a| <= Cn + epsilon
Onde é uma constante que engloba os primeiros termos. Conforme cresce, tende a zero, então a expressão inteira fica menor que .

Resposta

Assim, mostramos que .

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