Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar séries de Taylor, que são uma ferramenta da matemática que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar das séries de Taylor para as funções seno e cosseno.
Passo 2
Vamos lembrar as séries de Taylor para e
ao redor de 0:
Como precisamos de e
, vamos substituir
por
e
nas respectivas séries.
Passo 3
Expandindo usando a série de Taylor:
Como
está se aproximando de 0, os termos de ordem maior que
vão se tornar negligenciáveis, então podemos aproximar:
Passo 4
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor:
Novamente, como
se aproxima de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Passo 5
Substituindo as aproximações na expressão original:
Resposta
Portanto, .
Exercícios relacionados
Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)
e)
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
b)
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando
.
.