Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: lim x 0 sen(x^2)1-cos (2 x)=12.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar séries de Taylor, que são uma ferramenta da matemática que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar das séries de Taylor para as funções seno e cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar as séries de Taylor para e sen(x) = x - x^33! + x^55! - dots ao redor de 0:
cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - dots
Como precisamos de e , vamos substituir por e nas respectivas séries.

Passo 3

Expandindo usando a série de Taylor:
Como sen(x^2) = x^2 - (x^2)^33! + (x^2)^55! - dots = x^2 - x^66 + x^10120 - dots está se aproximando de 0, os termos de ordem maior que sen(x^2) approx x^2 vão se tornar negligenciáveis, então podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos expandir cos(2x) = 1 - (2x)^22! + (2x)^44! - dots = 1 - 2x^2 + 16x^424 - dots usando a série de Taylor:
cos(2x) approx 1 - 2x^2
Novamente, como se aproxima de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:

Passo 5

Substituindo as aproximações na expressão original:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados