Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar séries de Taylor, que são uma ferramenta da matemática que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar das séries de Taylor para as funções seno e cosseno.

Passo 2

Vamos lembrar as séries de Taylor para e ao redor de 0:
Como precisamos de e , vamos substituir por e nas respectivas séries.

Passo 3

Expandindo usando a série de Taylor:
Como está se aproximando de 0, os termos de ordem maior que vão se tornar negligenciáveis, então podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos expandir usando a série de Taylor:
Novamente, como se aproxima de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:

Passo 5

Substituindo as aproximações na expressão original:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
e)
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando . .