Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
c)
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa aqui é transformar a função em uma série de potências usando a série binomial. A matéria envolvida é a expansão em série binomial, que nos permite escrever funções numa forma de soma infinita de potências. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da série binomial e determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a expressão padrão da série binomial, que é . A nossa função é , que pode ser escrita como .
Passo 3
Agora, vamos fatorar o 4 para deixar a expressão dentro dos parênteses em termos de mais alguma coisa. Ficamos com:
Aqui, é uma constante que vamos manter separada.
Passo 4
A próxima etapa é aplicar a série binomial na parte . A fórmula da série binomial para é:
No nosso caso, e .
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
A combinação pode ser calculada usando a fórmula dos coeficientes binomiais para expoentes não inteiros.
Passo 6
Portanto, juntando tudo, a série de potências para fica:
Simplificando , que é igual a , temos:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência. A série binomial converge quando , ou seja: