Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
c) h(x) = 1 / raiz(4 - x)

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa aqui é transformar a função em uma série de potências usando a série binomial. A matéria envolvida é a expansão em série binomial, que nos permite escrever funções numa forma de soma infinita de potências. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da série binomial e determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a expressão padrão da série binomial, que é . A nossa função é , que pode ser escrita como .

Passo 3

Agora, vamos fatorar o 4 para deixar a expressão dentro dos parênteses em termos de mais alguma coisa. Ficamos com:
Aqui, é uma constante que vamos manter separada.

Passo 4

A próxima etapa é aplicar a série binomial na parte . A fórmula da série binomial para é:
No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula, temos:
A combinação pode ser calculada usando a fórmula dos coeficientes binomiais para expoentes não inteiros.

Passo 6

Portanto, juntando tudo, a série de potências para fica:
Simplificando , que é igual a , temos:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência. A série binomial converge quando , ou seja:
Então, o raio de convergência é 4.

Resposta

A função pode ser escrita como:
com raio de convergência igual a 4.

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