Seja
, definida por
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por:
O conteúdo da matéria envolve funções de várias variáveis, derivadas parciais e continuidade. Para resolver este exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então determinar onde essas derivadas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Para isso, vamos derivar a expressão de
com relação a
.
Para
:
Usando a regra do quociente, onde
e
, temos:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Fazemos um processo similar:
Para
:
Usando a regra do quociente, com
e
, temos:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora que temos as expressões para
e
quando
, precisamos analisar a continuidade dessas derivadas.
Para
, as funções
e
são compostas por polinômios e estão bem definidas, pois o denominador
.
No entanto, precisamos verificar o comportamento dessas derivadas no ponto
.
Passo 5
Vamos investigar se
e
são contínuas em
.
Para isso, precisamos calcular o limite de
e
quando
se aproxima de
.
Vamos primeiro para
:
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim:
Quando
, o denominador
tende a zero, mas o numerador está limitado, portanto, o limite tende a infinito. Isso significa que
não é contínua em
.
Fazendo uma análise semelhante para
:
Novamente, quando
, o denominador tende a zero, e o numerador está limitado, então o limite também tende a infinito. Portanto,
não é contínua em
.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de
e
é todo o
menos o ponto
.