Seja f: R^2 -> R, definida por
f(x, y) = { (x * y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de fx e fy.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
O conteúdo da matéria envolve funções de várias variáveis, derivadas parciais e continuidade. Para resolver este exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então determinar onde essas derivadas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Para isso, vamos derivar a expressão de com relação a .
Para :
Usando a regra do quociente, onde e , temos:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Fazemos um processo similar:
Para :
Usando a regra do quociente, com e , temos:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora que temos as expressões para e quando , precisamos analisar a continuidade dessas derivadas.
Para , as funções e são compostas por polinômios e estão bem definidas, pois o denominador .
No entanto, precisamos verificar o comportamento dessas derivadas no ponto .

Passo 5

Vamos investigar se e são contínuas em .
Para isso, precisamos calcular o limite de e quando se aproxima de .
Vamos primeiro para :
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim:
Quando , o denominador tende a zero, mas o numerador está limitado, portanto, o limite tende a infinito. Isso significa que não é contínua em .
Fazendo uma análise semelhante para :
Novamente, quando , o denominador tende a zero, e o numerador está limitado, então o limite também tende a infinito. Portanto, não é contínua em .

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de e é todo o menos o ponto .

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