Seja F(x, y)=(-y^3(x^2+y^2)^2, x y^2(x^2+y^2)^2) definido em R^2-(0,0) e sejam alpha1 e alpha2 as circunferências x^2+y^2=1 e(x-1)^2+y^2=4, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral integralalpha1 F cdot d r. Dica: sin ^2(t)=1-cos (2 t)2.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da circunferência , que é o círculo unitário , percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência x = cos(t) . Como é um círculo de raio 1 centrado na origem, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
y = sin(t)
onde varia de a para percorrer todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor diferencial dxdt = -sin(t) em termos de dydt = cos(t) . Derivando dr = ( dxdt, dydt ) dt = (-sin(t), cos(t)) dt e em relação a :
Então,

Passo 4

Substituímos F(cos(t), sin(t)) = ( -sin^3(t) (cos^2(t) + sin^2(t))^2 , cos(t) sin^2(t) (cos^2(t) + sin^2(t))^2 ) e F(cos(t), sin(t)) = (-sin^3(t), cos(t) sin^2(t)) na função vetorial :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (-sin^3(t)) cdot (-sin(t)) + (cos(t) sin^2(t)) cdot cos(t) = sin^4(t) + cos^2(t) sin^2(t) :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão resultante:
sin^4(t) + cos^2(t) sin^2(t) = sin^2(t) (sin^2(t) + cos^2(t)) = sin^2(t) (1) = sin^2(t)
Então,
F cdot dr = sin^2(t) dt

Passo 7

Agora, precisamos integrar integral0^2pi sin^2(t) dt de a :
Usaremos a identidade trigonométrica dada na dica: .

Passo 8

Substituindo a identidade:
integral0^2pi 1 - cos(2t)2 dt = 12 integral0^2pi (1 - cos(2t)) dt

Passo 9

Integrando termo a termo:
12 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos(2t) , dt ]
Sabemos que:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
integral0^2pi cos(2t) , dt = 0
Portanto,
12 (2pi - 0) = pi

Resposta

A integral é igual a .

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