Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral . Dica: .

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da circunferência , que é o círculo unitário , percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência . Como é um círculo de raio 1 centrado na origem, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde varia de a para percorrer todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor diferencial em termos de . Derivando e em relação a :
Então,

Passo 4

Substituímos e na função vetorial :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão resultante:
Então,

Passo 7

Agora, precisamos integrar de a :
Usaremos a identidade trigonométrica dada na dica: .

Passo 8

Substituindo a identidade:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Portanto,

Resposta

A integral é igual a .

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