Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral
. Dica:
.
Calcule a integral
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da circunferência
, que é o círculo unitário
, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência
. Como é um círculo de raio 1 centrado na origem, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde
varia de
a
para percorrer todo o círculo uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor diferencial
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Então,
Passo 4
Substituímos
e
na função vetorial
:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão resultante:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos integrar
de
a
:
Usaremos a identidade trigonométrica dada na dica:
.
Passo 8
Substituindo a identidade:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Portanto,
Resposta
A integral
é igual a
.
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