Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa usar o critério do termo geral para ver se a série
diverge ou se o teste não consegue dizer nada. Vamos precisar entender como funciona esse critério e aplicar ele na série que tá na questão.
Passo 2
Primeiro, o que é o critério do termo geral? É um método bem direto para verificar se uma série pode ou não convergir. A ideia é simples: se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série não converge; ou seja, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos
. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como vimos,
não se aproxima de nenhum número específico quando
cresce sem limite; ela continua alternando entre 1 e -1. Portanto, o limite não existe.
Passo 5
Segundo o critério do termo geral, se o limite de
não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite não só não é zero, como também não existe, o que confirma que a série não converge.
Resposta
A série
é divergente pelo critério do termo geral.
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definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
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.
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b)
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