Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a) sumn=0^infty cos (n pi)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa usar o critério do termo geral para ver se a série diverge ou se o teste não consegue dizer nada. Vamos precisar entender como funciona esse critério e aplicar ele na série que tá na questão.

Passo 2

Primeiro, o que é o critério do termo geral? É um método bem direto para verificar se uma série pode ou não convergir. A ideia é simples: se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, então a série não converge; ou seja, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos . Sabemos que alterna entre 1 e -1 conforme aumenta:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…

Passo 4

Vamos calcular o limite de limn to infty cos(n pi) quando tende ao infinito:
Como vimos, não se aproxima de nenhum número específico quando cresce sem limite; ela continua alternando entre 1 e -1. Portanto, o limite não existe.

Passo 5

Segundo o critério do termo geral, se o limite de não for zero, a série diverge. No nosso caso, o limite não só não é zero, como também não existe, o que confirma que a série não converge.

Resposta

A série é divergente pelo critério do termo geral.

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