Mostre que se
e
então,
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve limites de funções polinomiais. Precisamos mostrar que, para os polinômios
e
, o limite de
quando
tende a
é igual ao limite de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que quando lidamos com limites no infinito de funções polinomiais, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Isso significa que, para
e
, os termos
e
serão os mais importantes quando
cresce muito.
Passo 3
Vamos dividir todos os termos de
e
pelo termo de maior grau, que é
no numerador e
no denominador. Isso simplifica a expressão e ajuda a identificar qual termo realmente influencia o limite.
Passo 4
Escrevendo a fração
de forma simplificada:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dividindo
por
:
Passo 6
Ao calcular o limite quando
tende a
, os termos que contêm
,
, etc., tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 7
Dependendo do valor de
, o limite pode ser infinito, zero ou uma constante. No entanto, o exercício pede para mostrar que o limite de
é igual ao limite de
, que já está na forma
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine o limite de:
Mostre que se
é um número interiro positivo, então:
Mostre que
Determine os sinais, as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico de