Mostre que se e então,

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve limites de funções polinomiais. Precisamos mostrar que, para os polinômios e , o limite de quando tende a é igual ao limite de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que quando lidamos com limites no infinito de funções polinomiais, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Isso significa que, para e , os termos e serão os mais importantes quando cresce muito.

Passo 3

Vamos dividir todos os termos de e pelo termo de maior grau, que é no numerador e no denominador. Isso simplifica a expressão e ajuda a identificar qual termo realmente influencia o limite.

Passo 4

Escrevendo a fração de forma simplificada:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo por :

Passo 6

Ao calcular o limite quando tende a , os termos que contêm , , etc., tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 7

Dependendo do valor de , o limite pode ser infinito, zero ou uma constante. No entanto, o exercício pede para mostrar que o limite de é igual ao limite de , que já está na forma .

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determine o limite de:
Mostre que se é um número interiro positivo, então:
Mostre que
Determine os sinais, as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico de