Mostre que se P(x)=a0 x^n+a1 x^n-1+cdots+an e Q(x)=b0 x^m+b1 x^m-1+cdots+bm então,
lim x pm infty P(x)Q(x)=lim x pm infty a0 x^nb0 x^m

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve limites de funções polinomiais. Precisamos mostrar que, para os polinômios e , o limite de quando tende a é igual ao limite de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que quando lidamos com limites no infinito de funções polinomiais, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Isso significa que, para e , os termos e serão os mais importantes quando cresce muito.

Passo 3

Vamos dividir todos os termos de e pelo termo de maior grau, que é no numerador e no denominador. Isso simplifica a expressão e ajuda a identificar qual termo realmente influencia o limite.

Passo 4

Escrevendo a fração P(x)Q(x) = a0 x^n + a1 x^n-1 + cdots + anb0 x^m + b1 x^m-1 + cdots + bm = x^n ( a0 + a1x + cdots + anx^n )x^m ( b0 + b1x + cdots + bmx^m ) de forma simplificada:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo P(x)Q(x) = x^nx^m cdot a0 + a1x + cdots + anx^nb0 + b1x + cdots + bmx^m = x^n - m cdot a0 + a1x + cdots + anx^nb0 + b1x + cdots + bmx^m por :

Passo 6

Ao calcular o limite quando limx to pminfty P(x)Q(x) = limx to pminfty x^n - m cdot a0b0 = a0b0 cdot limx to pminfty x^n - m tende a , os termos que contêm , , etc., tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 7

Dependendo do valor de , o limite pode ser infinito, zero ou uma constante. No entanto, o exercício pede para mostrar que o limite de é igual ao limite de , que já está na forma .

Resposta

Portanto, mostramos que:
limx pm infty P(x)Q(x) = limx pm infty a0 x^nb0 x^m

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