Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa expressão matemática:
Então, o que precisamos aqui é entender como essa expressão se comporta quando
se aproxima de zero. Estamos lidando com cálculo, especificamente limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e exponenciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, para facilitar o trabalho com o limite de uma função exponencial, vamos usar o logaritmo natural. A ideia é tirar o logaritmo dos dois lados da expressão para simplificar a potência:
Sabemos que
. Então, nossa meta agora é mostrar que:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite
. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como
ou
.
Primeiro, substituímos
:
Isso é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Derivando o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Então, mostramos que:
Passo 6
Lembrando que tínhamos tirado o logaritmo no início, agora precisamos voltar para a expressão original. Se:
Então, aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
então,
Determine o limite de:
Determine os sinais, as assíntotas verticais e horizontais e faça um esboço do gráfico de
Calcule: