Mostre que
lim x 0(1+x)^1x=e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa expressão matemática:
lim x 0(1+x)^1x=e
Então, o que precisamos aqui é entender como essa expressão se comporta quando se aproxima de zero. Estamos lidando com cálculo, especificamente limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e exponenciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, para facilitar o trabalho com o limite de uma função exponencial, vamos usar o logaritmo natural. A ideia é tirar o logaritmo dos dois lados da expressão para simplificar a potência:
ln( lim x 0(1+x)^1x ) = ln(e)
Sabemos que lim x 0 ln(1+x)x = 1 . Então, nossa meta agora é mostrar que:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ln(1+0)0 = 00 . Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ou .
Primeiro, substituímos :
Isso é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de lim x 0 11+x1 = lim x 0 11+x em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, substituímos 11+0 = 1 na expressão simplificada:
lim x 0 ln(1+x)x = 1
Então, mostramos que:

Passo 6

Lembrando que tínhamos tirado o logaritmo no início, agora precisamos voltar para a expressão original. Se:
ln( lim x 0(1+x)^1x ) = 1
Então, aplicando a função exponencial em ambos os lados:
lim x 0(1+x)^1x = e^1 = e

Resposta

Portanto, mostramos que:
lim x 0(1+x)^1x = e

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