Determine a solucal
f { y' + 2y = t e^(-2t) ; y(1) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial onde precisa encontrar a função que satisfaz a seguinte condição:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está no formato padrão:
Comparando, temos:
Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para :

Passo 6

Utilizamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

Substituindo na expressão de , temos:
Então, a solução da equação diferencial dada é:

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