Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e
e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
.
Determe a derivada direcional da temperatura no ponto
e na direção de
.
Determe a derivada direcional da temperatura no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a temperatura no plano xy:
. A gente precisa encontrar a derivada direcional dessa temperatura no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
Onde
é o gradiente de
e
é o vetor unitário na direção de
. Então, a gente precisa calcular o gradiente da função
e depois fazer o produto escalar com o vetor unitário.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Primeiro, vamos calcular
:
Agora,
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter
:
Então,
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com
:
Resposta
A derivada direcional da temperatura no ponto
na direção de
é aproximadamente
graus Celsius por metro.
Exercícios relacionados
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e
e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
.
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura no ponto P?
Encontre a taxa máxima de variação de
no ponto
e determine em que direção ocorre.
Determine se
é par, ímpar, ou se nenhum dos dois casos se aplica. Se
for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico.
(g)
(g)
Determine a solucal