Suponha que a função , em que é medida em graus Celsius e e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano .
Determe a derivada direcional da temperatura no ponto e na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a temperatura no plano xy: . A gente precisa encontrar a derivada direcional dessa temperatura no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada por:
Onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de . Então, a gente precisa calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar com o vetor unitário.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, vamos calcular :
Agora, :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos normalizar o vetor para obter :
Então,
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com :

Resposta

A derivada direcional da temperatura no ponto na direção de é aproximadamente graus Celsius por metro.

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Encontre a taxa máxima de variação de no ponto e determine em que direção ocorre.
Determine se é par, ímpar, ou se nenhum dos dois casos se aplica. Se for par ou ímpar, use a simetria para esboçar seu gráfico.
(g)
Determine a solucal