Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar achar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral. Observe que
pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Então,
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
A equação fica assim:
Isso acontece porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, vamos expandir e integrar:
Então,
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
.
Substituindo
na expressão de
:
Multiplicando ambos os lados por 16:
Subtraindo 3:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Determine a solução dos P.V.Is:
Seja
a massa de uma substância radiotiva num instante
. Definine-se a atividade de uma amostra radioativa como sendo a taxa de variação da quantidade de massa que se decompõe por unidade de tempo. Observou-se que a atividade é proporcional à quantidade de massa presentes na amostra. Além disso, define-se a meia-vida de uma substância como sendo o tempo necessário para a decomposição da metade da substância.
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é gramas e a meia-vida da quantidade inicial é 2.000 anos, encontre a quantidade da substância depois de 3.000 anos. (R:
)
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é