Determine a solução dos P.V.Is: (1 + t^2) y' + 4 t y = t, y(1) = 1/4 * (R: t/2 + 150/t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar achar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral. Observe que pode ser resolvida por substituição. Seja , então , ou seja, .
Então,
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:
A equação fica assim:
Isso acontece porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, vamos expandir e integrar:
Então,

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar a expressão:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial .
Substituindo na expressão de :
Multiplicando ambos os lados por 16:
Subtraindo 3:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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