Seja a massa de uma substância radiotiva num instante . Definine-se a atividade de uma amostra radioativa como sendo a taxa de variação da quantidade de massa que se decompõe por unidade de tempo. Observou-se que a atividade é proporcional à quantidade de massa presentes na amostra. Além disso, define-se a meia-vida de uma substância como sendo o tempo necessário para a decomposição da metade da substância.
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é gramas e a meia-vida da quantidade inicial é 2.000 anos, encontre a quantidade da substância depois de 3.000 anos. (R: )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma substância radioativa cuja massa varia com o tempo, representada por . A atividade dessa substância é a taxa de variação da massa que se decompõe por unidade de tempo, e ela é proporcional à massa presente. Também sabemos que a meia-vida da substância é de 2.000 anos, ou seja, após esse tempo, metade da substância original se decompõe. Nosso objetivo é encontrar a quantidade dessa substância depois de 3.000 anos, partindo de uma quantidade inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a atividade e a massa. Como a atividade é proporcional à massa, podemos escrever:
Aqui, é a taxa de variação da massa, e é a constante de proporcionalidade positiva. O sinal negativo indica que a massa está diminuindo ao longo do tempo.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde é a massa inicial da substância.

Passo 4

Sabemos que a meia-vida é o tempo necessário para que a massa seja reduzida pela metade. Então, quando anos, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Para encontrar , vamos usar logaritmos. Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Agora que temos , podemos substituir de volta na equação da massa:

Passo 7

Queremos encontrar a massa após 3.000 anos, ou seja, :
Simplificando o expoente:
Então:

Passo 8

Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais, sabemos que . Aplicando isso:

Resposta

Depois de 3.000 anos, a quantidade da substância será gramas.

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(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de .