Seja
a massa de uma substância radiotiva num instante
. Definine-se a atividade de uma amostra radioativa como sendo a taxa de variação da quantidade de massa que se decompõe por unidade de tempo. Observou-se que a atividade é proporcional à quantidade de massa presentes na amostra. Além disso, define-se a meia-vida de uma substância como sendo o tempo necessário para a decomposição da metade da substância.
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é
gramas e a meia-vida da quantidade inicial é 2.000 anos, encontre a quantidade da substância depois de 3.000 anos. (R:
)
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma substância radioativa cuja massa varia com o tempo, representada por
. A atividade dessa substância é a taxa de variação da massa que se decompõe por unidade de tempo, e ela é proporcional à massa presente. Também sabemos que a meia-vida da substância é de 2.000 anos, ou seja, após esse tempo, metade da substância original se decompõe. Nosso objetivo é encontrar a quantidade dessa substância depois de 3.000 anos, partindo de uma quantidade inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a atividade e a massa. Como a atividade é proporcional à massa, podemos escrever:
Aqui,
é a taxa de variação da massa, e
é a constante de proporcionalidade positiva. O sinal negativo indica que a massa está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde
é a massa inicial da substância.
Passo 4
Sabemos que a meia-vida
é o tempo necessário para que a massa seja reduzida pela metade. Então, quando
anos, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos usar logaritmos. Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Agora que temos
, podemos substituir de volta na equação da massa:
Passo 7
Queremos encontrar a massa após 3.000 anos, ou seja,
:
Simplificando o expoente:
Então:
Passo 8
Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais, sabemos que
. Aplicando isso:
Resposta
Depois de 3.000 anos, a quantidade da substância será
gramas.
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Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de
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Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é,
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.