Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve a função
e sua derivada
. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão para
que satisfaça a equação dada para todo
. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. Começamos dividindo ambos os lados da equação original por
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação linear pela
encontrada:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine a solução dos P.V.Is: