Encontre a solução geral da equação diferencial dada:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve a função e sua derivada . O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão para que satisfaça a equação dada para todo . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: . Começamos dividindo ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação linear pela encontrada:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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