Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (P.V.I) dado pela equação diferencial:
com a condição inicial
.
Para resolver essa equação, usaremos o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e, assim, determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identifique os coeficientes da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Calculamos o fator integrante (
) usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de
e
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos
na expressão para
:
Resposta
A solução do P.V.I é:
Exercícios relacionados
Determine a solução dos P.V.Is:
Seja
a massa de uma substância radiotiva num instante
. Definine-se a atividade de uma amostra radioativa como sendo a taxa de variação da quantidade de massa que se decompõe por unidade de tempo. Observou-se que a atividade é proporcional à quantidade de massa presentes na amostra. Além disso, define-se a meia-vida de uma substância como sendo o tempo necessário para a decomposição da metade da substância.
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é gramas e a meia-vida da quantidade inicial é 2.000 anos, encontre a quantidade da substância depois de 3.000 anos. (R:
)
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é
Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de
. Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque através de um buraco à mesma razão. A mistura do tanque é continuamente agitada, de modo a manter homogênea (isto é, a concentração é a mesma em todo o tanque). Se inicialmente a mistura contém uma concetração de
, determine a concentração num instante futuro.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é, ). Represente geometricamente este comportamento.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é,