Determine a solução dos P.V.Is:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (P.V.I) dado pela equação diferencial:
com a condição inicial
.
Para resolver essa equação, usaremos o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e, assim, determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identifique os coeficientes da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Calculamos o fator integrante (
) usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de
e
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 9
Substituímos
na expressão para
:
Resposta
A solução do P.V.I é: