Determine a solução dos P.V.Is: y' + 2/t y = t^3, y(1) = 2(R:(1+t^2)^-2[t^2/2 + t^4/4 + 1/4])

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (P.V.I) dado pela equação diferencial:
com a condição inicial .
Para resolver essa equação, usaremos o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e, assim, determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Calculamos o fator integrante ( ) usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de e :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 9

Substituímos na expressão para :

Resposta

A solução do P.V.I é:

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