Determine a solução dos P.V.Is: cost

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (P.V.I) que é uma equação diferencial. A equação é e a condição inicial é . Vamos resolver isso passo a passo usando métodos de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A ideia é encontrar uma função que, quando derivada, dá vezes ela mesma.

Passo 3

Para resolver isso, usamos o método do fator integrante. A fórmula geral para equações da forma é multiplicar por um fator que simplifica a equação. No nosso caso, reescrevemos a equação como , então .

Passo 4

Calculamos o fator integrante que é . Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para :

Passo 8

Agora usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do P.V.I é:

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