Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (P.V.I) que é uma equação diferencial. A equação é
e a condição inicial é
. Vamos resolver isso passo a passo usando métodos de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A ideia é encontrar uma função
que, quando derivada, dá
vezes ela mesma.
Passo 3
Para resolver isso, usamos o método do fator integrante. A fórmula geral para equações da forma
é multiplicar por um fator que simplifica a equação. No nosso caso, reescrevemos a equação como
, então
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
que é
. Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
:
Passo 8
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução do P.V.I é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Determine a solução dos P.V.Is:
Determine a solução dos P.V.Is: