Dê as soluções das equações diferenciais de ordem abaixo, com seus domínios (máximos):

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial de primeira ordem . Isso está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente em equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial separável. É uma equação onde podemos reorganizar os termos para que todas as expressões com fiquem de um lado e todas as com fiquem do outro lado. No nosso caso, temos:
Que tal dividir ambos os lados por e multiplicar por para separar as variáveis?

Passo 3

Fazendo essa separação, temos:
Lembrando que , podemos reescrever como:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para facilitar a integração:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A integral de é e a integral de é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar a expressão, podemos elevar ambos os lados como potência de :
Sabendo que e , podemos escrever:
Podemos simplificar para uma nova constante , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real. O domínio máximo para essa solução é .

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