Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty ln (n)n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série vai somar até um número finito (converge) ou se ela cresce sem limites (diverge). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que compara a série com uma integral para ver o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar as condições para usar o Teste da Integral. A função precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo a partir de algum ponto. Olhando para :
  • Positiva: é positiva para , e é sempre positivo.
  • Contínua: A função é contínua para .
  • Decrescente: A derivada de é negativa para , então a função está decrescendo.
Como essas condições são atendidas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral que vamos analisar:
integral1^+infty ln(x)x , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar integral u , du = u^22 + C = (ln(x))^22 + C , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 4

Vamos avaliar a integral de integral1^b ln(x)x , dx = (ln(b))^22 - (ln(1))^22 = (ln(b))^22 até e depois ver o que acontece quando vai para o infinito:
Sabemos que , então a segunda parte desaparece. Agora, conforme cresce sem limite, também cresce sem limite, o que significa que vai para o infinito.

Resposta

A série diverge.

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