Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma série infinita:
. O objetivo é descobrir se essa série vai somar até um número finito (converge) ou se ela cresce sem limites (diverge). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que compara a série com uma integral para ver o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar as condições para usar o Teste da Integral. A função
precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo
a partir de algum ponto. Olhando para
:
- Positiva:
é positiva para , e é sempre positivo. - Contínua: A função é contínua para
. - Decrescente: A derivada de
é negativa para , então a função está decrescendo.
Como essas condições são atendidas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral que vamos analisar:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 4
Vamos avaliar a integral de
até
e depois ver o que acontece quando
vai para o infinito:
Sabemos que
, então a segunda parte desaparece. Agora, conforme
cresce sem limite,
também cresce sem limite, o que significa que
vai para o infinito.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.