Determine:
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata
2 x y dy/dx + 3 x^2 + y^2 = 0, 0 < x <= 2^(1/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação dos termos que multiplicam e . A equação original pode ser rearranjada assim:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá:
Aqui, podemos identificar e .

Passo 3

Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar essa função .

Passo 4

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi em relação a .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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