Determine:
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação dos termos que multiplicam e . A equação original pode ser rearranjada assim:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso nos dá:
Aqui, podemos identificar e .

Passo 3

Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar essa função .

Passo 4

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi em relação a .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Resolva a seguinte equação de Bernoulli
Sejam e . Determine: ;
Resolva as equações diferenciais:
Seja . Descreva as curvas de nível com os valores de obtidos em a).