Determine:
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar uma função que a satisfaça.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação dos termos que multiplicam
e
. A equação original pode ser rearranjada assim:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá:
Aqui, podemos identificar
e
.
Passo 3
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar essa função
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolva a seguinte equação de Bernoulli
Sejam
e
. Determine:
;
Resolva as equações diferenciais:
Seja
. Descreva as curvas de nível
com os valores de
obtidos em a).