Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Termo Não Homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea tem a forma:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados. Observamos que o lado direito é um polinômio de segundo grau multiplicado por
.
A forma da solução particular vai depender da natureza do termo não homogêneo. Como já temos termos
e
na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar soluções redundantes. Portanto, assumimos uma solução particular da forma:
Aqui,
são coeficientes que precisamos determinar. Diferenciando
e substituindo na equação original, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
.
Passo 4
Após calcular as derivadas e substituir na equação original, resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores dos coeficientes:
Portanto, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.