Resolva as equações diferenciais:
y'' + 4y = (x^2 - 3) sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Termo Não Homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea tem a forma:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados. Observamos que o lado direito é um polinômio de segundo grau multiplicado por .
A forma da solução particular vai depender da natureza do termo não homogêneo. Como já temos termos e na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar soluções redundantes. Portanto, assumimos uma solução particular da forma:
Aqui, são coeficientes que precisamos determinar. Diferenciando e substituindo na equação original, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de .

Passo 4

Após calcular as derivadas e substituir na equação original, resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores dos coeficientes:
Portanto, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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