Resolva a seguinte equação de Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que você me passou:
Primeiro, vamos entender do que se trata. A equação de Bernoulli é um tipo especial de equação diferencial não linear que pode ser transformada em uma equação linear com uma substituição adequada. Para resolver, vamos precisar conhecer essa técnica de substituição e aplicar algumas manipulações algébricas.

Passo 2

A equação que temos é:
Comparando com a forma geral da equação de Bernoulli:
Vemos que:
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Rearranjando isso para :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Agora, dividimos toda a equação por para simplificar:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por para deixar a derivada positiva:
Agora temos uma equação linear em :
Onde:

Passo 6

Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para :
Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine: ;
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
Determine:
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata
Resolva as equações diferenciais: