Resolva a seguinte equação de Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que você me passou:
Primeiro, vamos entender do que se trata. A equação de Bernoulli é um tipo especial de equação diferencial não linear que pode ser transformada em uma equação linear com uma substituição adequada. Para resolver, vamos precisar conhecer essa técnica de substituição e aplicar algumas manipulações algébricas.
Passo 2
A equação que temos é:
Comparando com a forma geral da equação de Bernoulli:
Vemos que:
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Rearranjando isso para
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Agora, dividimos toda a equação por
para simplificar:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
para deixar a derivada positiva:
Agora temos uma equação linear em
:
Onde:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Determine:
;
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
Determine:
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata
A solução da EDO, sabendo que a EDO é exata
Resolva as equações diferenciais: