Determine a solução da EDO
usando a teoria de série de potências. Depois deduza explicitamente seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada:
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a teoria de séries de potências para encontrar a solução. Para isso, precisamos lembrar como representar funções como somas de potências e derivar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Para facilitar a manipulação, vamos ajustar os índices das somas para que ambos tenham a mesma potência de
. Vamos substituir
na primeira soma e
na segunda soma:
Passo 6
Agora, podemos combinar as somas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 7
Podemos simplificar essa relação de recorrência dividindo ambos os lados por
:
Então:
Passo 8
Vamos encontrar os coeficientes
usando as condições iniciais. Primeiro, notamos que:
Agora, usando a relação de recorrência:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que:
E
.
Passo 9
Então, a série de potências para
fica:
Passo 10
Reconhecemos essa série como a expansão de
, exceto pelo termo constante que é zero. Portanto:
Passo 11
Finalmente, para encontrar o raio de convergência da série, lembramos que a série de
converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A solução da EDO é:
E o raio de convergência da série é infinito.
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