Determine a solução da EDO
usando a teoria de série de potências. Depois deduza explicitamente seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada:
com as condições iniciais e . Vamos usar a teoria de séries de potências para encontrar a solução. Para isso, precisamos lembrar como representar funções como somas de potências e derivar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial :

Passo 5

Para facilitar a manipulação, vamos ajustar os índices das somas para que ambos tenham a mesma potência de . Vamos substituir na primeira soma e na segunda soma:

Passo 6

Agora, podemos combinar as somas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 7

Podemos simplificar essa relação de recorrência dividindo ambos os lados por :
Então:

Passo 8

Vamos encontrar os coeficientes usando as condições iniciais. Primeiro, notamos que:
Agora, usando a relação de recorrência:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Observamos que:
E .

Passo 9

Então, a série de potências para fica:

Passo 10

Reconhecemos essa série como a expansão de , exceto pelo termo constante que é zero. Portanto:

Passo 11

Finalmente, para encontrar o raio de convergência da série, lembramos que a série de converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A solução da EDO é:
E o raio de convergência da série é infinito.

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