Determine a solução da equação de Bernoulli d yd x+3 y=y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é a seguinte:
d yd x + 3 y = y^2
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação diferencial linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso:

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
v = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1
Isso significa que:
v = 1y
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de d vd x = dd x ( y^-1 ) = -y^-2 d yd x :
d yd x = -y^2 d vd x
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Substituindo -y^2 d vd x + 3 y = y^2 na equação original:
-d vd x + 3y = 1
Dividindo todos os termos por -d vd x + 3v = 1 (já que d vd x - 3v = -1 ):
Lembrando que , então . Substituindo:
Multiplicando toda a equação por -1 para deixar a derivada positiva:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial linear na forma:
d vd x + P(x) v = Q(x)
Onde:
  • mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -3 dx = e^-3x
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante, que é dado por:

Passo 7

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante e^-3x d vd x - 3 e^-3x v = -e^-3x :
dd x ( e^-3x v ) = -e^-3x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a integral dd x ( e^-3x v ) dx = integral -e^-3x dx :
e^-3x v = 13 e^-3x + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para v = 13 + C e^3x :
1y = 13 + C e^3x
Lembrando que , então:

Passo 10

Finalmente, resolvendo para y = 113 + C e^3x = 31 + 3C e^3x :
y = 31 + K e^3x
Podemos simplificar a constante para apenas uma constante (já que é arbitrária):

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
y = 31 + K e^3x
onde é uma constante arbitrária.

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