Determine a solução da equação de Bernoulli
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação diferencial linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso:
Passo 3
O próximo passo é fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
(já que
):
Lembrando que
, então
. Substituindo:
Multiplicando toda a equação por -1 para deixar a derivada positiva:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial linear na forma:
Onde:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante, que é dado por:
Passo 7
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 10
Finalmente, resolvendo para
:
Podemos simplificar a constante
para apenas uma constante
(já que
é arbitrária):
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde
é uma constante arbitrária.