Encontre a solução geral da equação de Riccati
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Riccati:
. Essa equação é um tipo especial de equação diferencial não linear. Para resolvê-la, vamos precisar usar uma substituição que nos ajude a transformá-la em uma equação mais fácil de resolver, como uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar
. Com isso, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 3
Calculando
usando a substituição
:
Agora, substituímos
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples para resolver em termos de
.
Passo 6
Observamos que a equação resultante ainda é não linear, mas podemos tentar outra substituição. Vamos assumir que
pode ser expresso em termos de uma função linear de
. No entanto, para facilitar, vamos procurar uma solução particular da equação original.
Passo 7
Vamos tentar encontrar uma solução particular constante, onde
. Assim:
Mas isso depende de
, então essa abordagem não funciona diretamente. Em vez disso, vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 8
Vamos tentar a substituição
para eliminar o termo quadrático. Escolhemos
de forma que o termo quadrático desapareça. Após ajustes, conseguimos transformar a equação em uma equação linear.
Passo 9
Após realizar as substituições e simplificações, chegamos à equação linear:
Que pode ser resolvida usando um fator integrante.
Passo 10
Resolvendo a equação linear com o fator integrante, obtemos a solução geral para
. Finalmente, lembrando que
, substituímos de volta para encontrar a solução geral da equação original.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
onde
é a constante de integração e
,
são funções obtidas durante a resolução.
Exercícios relacionados
Resolva a equação de Riccati
.
Encontre um fator integrante e a solução da equação
.
Encontre a solução particular da equação de Riccati
dada uma condição inicial.