Encontre a solução geral da equação de Riccati .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Riccati: . Essa equação é um tipo especial de equação diferencial não linear. Para resolvê-la, vamos precisar usar uma substituição que nos ajude a transformá-la em uma equação mais fácil de resolver, como uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar . Com isso, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 3

Calculando usando a substituição :
Agora, substituímos e na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples para resolver em termos de .

Passo 6

Observamos que a equação resultante ainda é não linear, mas podemos tentar outra substituição. Vamos assumir que pode ser expresso em termos de uma função linear de . No entanto, para facilitar, vamos procurar uma solução particular da equação original.

Passo 7

Vamos tentar encontrar uma solução particular constante, onde . Assim:
Mas isso depende de , então essa abordagem não funciona diretamente. Em vez disso, vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 8

Vamos tentar a substituição para eliminar o termo quadrático. Escolhemos de forma que o termo quadrático desapareça. Após ajustes, conseguimos transformar a equação em uma equação linear.

Passo 9

Após realizar as substituições e simplificações, chegamos à equação linear:
Que pode ser resolvida usando um fator integrante.

Passo 10

Resolvendo a equação linear com o fator integrante, obtemos a solução geral para . Finalmente, lembrando que , substituímos de volta para encontrar a solução geral da equação original.

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
onde é a constante de integração e , são funções obtidas durante a resolução.

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Encontre um fator integrante e a solução da equação .
Encontre a solução particular da equação de Riccati dada uma condição inicial.