Seja V=R^n. Se u=(x1, ldots, xn) in V e v=(y1, ldots, yn) in V. Mostre que u e v são L D se, e somente se, existe um escalar a in R tal que yi=a xi, i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos dois vetores, u = (x1, ldots, xn) e v = (y1, ldots, yn), no espaço R^n. Queremos mostrar que esses vetores são linearmente dependentes (L.D.) se, e somente se, existe um número real a tal que cada componente de v é igual a a vezes a correspondente componente de u, ou seja, yi = a xi para todo i = 1, ldots, n.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como isso se relaciona com a existência desse escalar a. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente dependentes. Dois vetores u e v são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, isso significa que existem números reais k1 e k2, não ambos zero, tais que:
k1 u + k2 v = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar essa equação componente a componente. Sabendo que u = (x1, ldots, xn) e v = (y1, ldots, yn), temos:
k1 (x1, ldots, xn) + k2 (y1, ldots, yn) = (0, ldots, 0)
Ou seja, para cada componente i, a equação fica:
k1 xi + k2 yi = 0 para todo i = 1, ldots, n

Passo 4

Queremos mostrar que essa condição de linearmente dependentes implica que todos os yi são múltiplos de xi, e vice-versa. Para isso, suponha que u e v sejam linearmente dependentes. Então, pela definição, existem k1 e k2, não ambos zero, tais que k1 u + k2 v = 0.
Sem perda de generalidade, podemos assumir que k1 neq 0. (Se k1 fosse zero, então k2 neq 0, e seguiria um raciocínio similar.) Então, podemos isolar v:
v = -k1k2 u
Aqui, definimos a = -k1k2, logo:
v = a u
O que quer dizer que cada componente yi = a xi para todo i.

Passo 5

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que existe um escalar a tal que yi = a xi para todo i = 1, ldots, n. Queremos mostrar que u e v são linearmente dependentes.
Se yi = a xi, então podemos escrever:
v = (y1, ldots, yn) = (a x1, ldots, a xn) = a (x1, ldots, xn) = a u
Isso significa que podemos escolher k1 = a e k2 = -1, e teremos:
k1 u + k2 v = a u - v = a u - a u = 0
Como encontramos coeficientes k1 e k2, não ambos zero, que satisfazem a combinação linear igual a zero, concluímos que u e v são linearmente dependentes.

Resposta

Assim, mostramos que u e v são linearmente dependentes se, e somente se, existe um escalar a in R tal que yi = a xi para todo i = 1, ldots, n.

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