Seja
. Se
e
. Mostre que
e
são
se, e somente se, existe um escalar
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos dois vetores,
e
, no espaço
. Queremos mostrar que esses vetores são linearmente dependentes (L.D.) se, e somente se, existe um número real
tal que cada componente de
é igual a
vezes a correspondente componente de
, ou seja,
para todo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como isso se relaciona com a existência desse escalar
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente dependentes. Dois vetores
e
são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, isso significa que existem números reais
e
, não ambos zero, tais que:
Passo 3
Agora, vamos analisar essa equação componente a componente. Sabendo que
e
, temos:
Ou seja, para cada componente
, a equação fica:
Passo 4
Queremos mostrar que essa condição de linearmente dependentes implica que todos os
são múltiplos de
, e vice-versa. Para isso, suponha que
e
sejam linearmente dependentes. Então, pela definição, existem
e
, não ambos zero, tais que
.
Sem perda de generalidade, podemos assumir que
. (Se
fosse zero, então
, e seguiria um raciocínio similar.) Então, podemos isolar
:
Aqui, definimos
, logo:
O que quer dizer que cada componente
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que existe um escalar
tal que
para todo
. Queremos mostrar que
e
são linearmente dependentes.
Se
, então podemos escrever:
Isso significa que podemos escolher
e
, e teremos:
Como encontramos coeficientes
e
, não ambos zero, que satisfazem a combinação linear igual a zero, concluímos que
e
são linearmente dependentes.
Resposta
Assim, mostramos que
e
são linearmente dependentes se, e somente se, existe um escalar
tal que
para todo
.
Exercícios relacionados
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)
a)
b)
c)
d)
d)
Resolva
.
Encontre os valores de
tal que a matriz
seja invertível.