Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que verifica se os planos são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente o cálculo de vetores normais dos planos e o produto escalar para verificar a perpendicularidade. Precisaremos encontrar os vetores normais de cada plano e verificar se o produto escalar entre eles é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte a:
Os planos são dados em forma paramétrica:
Passo 3
Para encontrar o vetor normal de cada plano, vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores.
Para o primeiro plano, os vetores diretores são e . Calculamos o produto vetorial:
Passo 4
Para o segundo plano, os vetores diretores são e . Calculamos o produto vetorial:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais e para verificar a perpendicularidade:
Passo 6
Como o produto escalar não é zero (), os planos não são perpendiculares.
Passo 7
Agora, vamos analisar a parte b:
Os planos são dados em forma paramétrica:
Passo 8
Encontramos os vetores diretores dos planos:
Para o primeiro plano: e .
Calculamos o vetor normal:
Passo 9
Para o segundo plano: e .
Calculamos o vetor normal:
Passo 10
Calculamos o produto escalar entre e :
Passo 11
Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.
Passo 12
Agora, vamos analisar a parte c:
Os planos são dados em forma paramétrica e implícita:
Passo 13
Primeiro, encontramos os vetores diretores do primeiro plano: e .
Calculamos o vetor normal do primeiro plano:
Para o segundo plano, que está na forma , o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
Passo 14
Calculamos o produto escalar entre e :
Passo 15
Como o produto escalar não é zero, os planos não são perpendiculares.
Passo 16
Por fim, vamos analisar a parte d:
Os planos são dados nas formas:
Passo 17
Identificamos os vetores normais de cada plano diretamente pelos coeficientes de , e :
Para o primeiro plano: .
Para o segundo plano: .
Passo 18
Calculamos o produto escalar entre e :
Passo 19
Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.