Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que verifica se os planos são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente o cálculo de vetores normais dos planos e o produto escalar para verificar a perpendicularidade. Precisaremos encontrar os vetores normais de cada plano e verificar se o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte a:
Os planos são dados em forma paramétrica:

Passo 3

Para encontrar o vetor normal de cada plano, vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores.
Para o primeiro plano, os vetores diretores são e . Calculamos o produto vetorial:

Passo 4

Para o segundo plano, os vetores diretores são e . Calculamos o produto vetorial:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais e para verificar a perpendicularidade:

Passo 6

Como o produto escalar não é zero ( ), os planos não são perpendiculares.

Passo 7

Agora, vamos analisar a parte b:
Os planos são dados em forma paramétrica:

Passo 8

Encontramos os vetores diretores dos planos:
Para o primeiro plano:
e .
Calculamos o vetor normal:

Passo 9

Para o segundo plano:
e .
Calculamos o vetor normal:

Passo 10

Calculamos o produto escalar entre e :

Passo 11

Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.

Passo 12

Agora, vamos analisar a parte c:
Os planos são dados em forma paramétrica e implícita:

Passo 13

Primeiro, encontramos os vetores diretores do primeiro plano: e .
Calculamos o vetor normal do primeiro plano:
Para o segundo plano, que está na forma , o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, .

Passo 14

Calculamos o produto escalar entre e :

Passo 15

Como o produto escalar não é zero, os planos não são perpendiculares.

Passo 16

Por fim, vamos analisar a parte d:
Os planos são dados nas formas:

Passo 17

Identificamos os vetores normais de cada plano diretamente pelos coeficientes de , e :
Para o primeiro plano: .
Para o segundo plano: .

Passo 18

Calculamos o produto escalar entre e :

Passo 19

Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos da parte d) são perpendiculares.

Fim da Resolução

Exercícios relacionados

Encontre a solução particular da equação de Riccati dada uma condição inicial.
Seja . Se e . Mostre que e são se, e somente se, existe um escalar tal que .
Resolva .