Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a) X=(1,-3,4)+lambda(1,0,3)+mu(0,1,3)
X=(0,0,0)+lambda(1,1,6)+mu(1,-1,0)
b) X=(1,1,1)+lambda(-1,0,-1)+mu(4,1,1)
X=(3,1,1)+lambda(1,-3,-1)+mu(3,1,0)
c) X=(4,3,1)+lambda(-1,0,-1)+mu(3,1,0 y-3 z=10
d) x+y-z-2=0 4 x-2 y+2 z=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que verifica se os planos são perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente o cálculo de vetores normais dos planos e o produto escalar para verificar a perpendicularidade. Precisaremos encontrar os vetores normais de cada plano e verificar se o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte a:
Os planos são dados em forma paramétrica:
X = (1,-3,4) + lambda(1,0,3) + mu(0,1,3)
X = (0,0,0) + lambda(1,1,6) + mu(1,-1,0)

Passo 3

Para encontrar o vetor normal de cada plano, vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores.
Para o primeiro plano, os vetores diretores são u = (1,0,3) e v = (0,1,3). Calculamos o produto vetorial:
n1 = u times v = i & j & k 1 & 0 & 3 0 & 1 & 3 = (-3, -3, 1)

Passo 4

Para o segundo plano, os vetores diretores são u' = (1,1,6) e v' = (1,-1,0). Calculamos o produto vetorial:
n2 = u' times v' = i & j & k 1 & 1 & 6 1 & -1 & 0 = (6, 6, -2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores normais n1 e n2 para verificar a perpendicularidade:
n1 cdot n2 = (-3)(6) + (-3)(6) + (1)(-2) = -18 -18 -2 = -38

Passo 6

Como o produto escalar não é zero ( -38 neq 0), os planos não são perpendiculares.

Passo 7

Agora, vamos analisar a parte b:
Os planos são dados em forma paramétrica:
X = (1,1,1) + lambda(-1,0,-1) + mu(4,1,1)
X = (3,1,1) + lambda(1,-3,-1) + mu(3,1,0)

Passo 8

Encontramos os vetores diretores dos planos:
Para o primeiro plano:
u = (-1,0,-1) e v = (4,1,1).
Calculamos o vetor normal:
n1 = u times v = i & j & k -1 & 0 & -1 4 & 1 & 1 = (0*(-1) - (-1)*1, -((-1)*1 - (-1)*4), (-1)*1 -0*4) = (1, 3, -1)

Passo 9

Para o segundo plano:
u' = (1,-3,-1) e v' = (3,1,0).
Calculamos o vetor normal:
n2 = u' times v' = i & j & k 1 & -3 & -1 3 & 1 & 0 = (-3*0 - (-1)*1, - (1*0 - (-1)*3), 1*1 - (-3)*3) = (1, 3, 10)

Passo 10

Calculamos o produto escalar entre n1 e n2:
n1 cdot n2 = (1)(1) + (3)(3) + (-1)(10) = 1 + 9 -10 = 0

Passo 11

Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.

Passo 12

Agora, vamos analisar a parte c:
Os planos são dados em forma paramétrica e implícita:
X=(4,3,1)+lambda(-1,0,-1)+mu(3,1,0)
y - 3z = 10

Passo 13

Primeiro, encontramos os vetores diretores do primeiro plano: u = (-1,0,-1) e v = (3,1,0).
Calculamos o vetor normal do primeiro plano:
n1 = u times v = i & j & k -1 & 0 & -1 3 & 1 & 0 = (0*0 - (-1)*1, -((-1)*0 - (-1)*3), (-1)*1 -0*3) = (1, 3, -1)
Para o segundo plano, que está na forma y - 3z = 10, o vetor normal é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n2 = (0,1,-3).

Passo 14

Calculamos o produto escalar entre n1 e n2:
n1 cdot n2 = (1)(0) + (3)(1) + (-1)(-3) = 0 + 3 + 3 = 6 neq 0

Passo 15

Como o produto escalar não é zero, os planos não são perpendiculares.

Passo 16

Por fim, vamos analisar a parte d:
Os planos são dados nas formas:
x + y - z - 2 = 0
4x - 2y + 2z = 0

Passo 17

Identificamos os vetores normais de cada plano diretamente pelos coeficientes de x, y e z:
Para o primeiro plano: n1 = (1,1,-1).
Para o segundo plano: n2 = (4,-2,2).

Passo 18

Calculamos o produto escalar entre n1 e n2:
n1 cdot n2 = (1)(4) + (1)(-2) + (-1)(2) = 4 -2 -2 = 0

Passo 19

Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos da parte d) são perpendiculares.

Fim da Resolução

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