Encontre a solução particular da equação de Riccati
dada uma condição inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação chamada Equação de Riccati, que é do tipo:
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular dessa equação, ou seja, encontrar uma função
que satisfaça essa equação. Para isso, vamos usar algumas técnicas de cálculo que envolvem manipular a equação para torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Uma maneira de resolver essa equação é fazendo uma substituição que a transforma em uma equação linear mais simples. Vamos usar a substituição
, onde
é uma nova função de
.
Passo 3
Aplicando a substituição
, onde
, a derivada de
fica:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Simplificando:
Essa equação ainda parece complicada, então vamos procurar uma outra abordagem.
Passo 5
Na verdade, uma abordagem mais direta para algumas Equações de Riccati é tentar encontrar uma solução particular assumindo uma forma para
. Vamos tentar uma solução que seja um polinômio de primeiro grau, ou seja,
, onde
é uma função linear de
.
Vamos supor que:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.
Passo 7
Expansão do lado direito:
Substituindo na equação:
Agrupando os termos por potências de
:
Passo 8
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais em ambos os lados. No lado esquerdo, temos apenas
, que é uma constante. Portanto, igualamos os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 9
Vamos resolver essas equações:
-
De
: -
De
: -
De
: Essa equação nos mostra quedeve ser maior ou igual a 1, já que é sempre não negativo.
Vamos analisar as possíveis soluções:
-
Caso 1:De
não tem solução real, já que é sempre . -
Caso 2:DeE de
não é verdade. Conflito! -
Caso 3:Apesar de
não aparecer diretamente na solução de , vamos verificar: DeEsatisfaz as outras condições.
Passo 10
Então, encontramos que a solução particular assumindo a forma
é:
Resposta
A solução particular da equação de Riccati dada é
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação de Riccati
.
Resolva a equação de Riccati
.
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)
a)
b)
c)
d)
d)