Encontre a solução particular da equação de Riccati d yd x=y^2-2 x y+1 dada uma condição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação chamada Equação de Riccati, que é do tipo:
dydx = y^2 - 2x y + 1
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular dessa equação, ou seja, encontrar uma função que satisfaça essa equação. Para isso, vamos usar algumas técnicas de cálculo que envolvem manipular a equação para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Riccati tem a forma geral:
dydx = a(x) y^2 + b(x) y + c(x)
No nosso caso, temos:
Uma maneira de resolver essa equação é fazendo uma substituição que a transforma em uma equação linear mais simples. Vamos usar a substituição , onde é uma nova função de .

Passo 3

Aplicando a substituição dydx = u''u - (u'u)^2 , onde u''u - (u'u)^2 = (u'u)^2 - 2x (u'u) + 1 , a derivada de fica:
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
u''u - (u'u)^2 = (u'u)^2 - 2x (u'u) + 1
Multiplicando ambos os lados por u'' - (u')^2/u = (u')^2/u - 2x u' + u para eliminar as frações:
u'' = 2(u')^2/u - 2x u' + u
Simplificando:
Essa equação ainda parece complicada, então vamos procurar uma outra abordagem.

Passo 5

Na verdade, uma abordagem mais direta para algumas Equações de Riccati é tentar encontrar uma solução particular assumindo uma forma para y = kx + m . Vamos tentar uma solução que seja um polinômio de primeiro grau, ou seja, , onde é uma função linear de .
Vamos supor que:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Primeiro, calculamos dydx = k :
k = (kx + m)^2 - 2x(kx + m) + 1
Agora, substituímos e na equação original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 7

Expansão do lado direito:
(kx + m)^2 = k^2x^2 + 2k m x + m^2
Substituindo na equação:
k = k^2x^2 + 2k m x + m^2 - 2k x^2 - 2m x + 1
Agrupando os termos por potências de k = (k^2 - 2k)x^2 + (2k m - 2m)x + (m^2 + 1) :

Passo 8

Para que essa equação seja verdadeira para todo k^2 - 2k = 0 , os coeficientes de cada potência de 2k m - 2m = 0 devem ser iguais em ambos os lados. No lado esquerdo, temos apenas m^2 + 1 = k , que é uma constante. Portanto, igualamos os coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 9

Vamos resolver essas equações:
  1. De k(k - 2) = 0 Rightarrow k = 0 ou k = 2 :
    2m(k - 1) = 0 Rightarrow m = 0 ou k = 1
  2. De :
  3. De :
    Essa equação nos mostra que deve ser maior ou igual a 1, já que é sempre não negativo.
Vamos analisar as possíveis soluções:
  • Caso 1:
    De não tem solução real, já que é sempre .
  • Caso 2:
    De
    E de não é verdade. Conflito!
  • Caso 3:
    Apesar de não aparecer diretamente na solução de , vamos verificar:
    De
    E satisfaz as outras condições.

Passo 10

Então, encontramos que a solução particular assumindo a forma y = 1 cdot x + 0 = x é:

Resposta

A solução particular da equação de Riccati dada é .

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