Encontre a solução particular da equação de Riccati dada uma condição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação chamada Equação de Riccati, que é do tipo:
O que precisamos fazer é encontrar uma solução particular dessa equação, ou seja, encontrar uma função que satisfaça essa equação. Para isso, vamos usar algumas técnicas de cálculo que envolvem manipular a equação para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Uma maneira de resolver essa equação é fazendo uma substituição que a transforma em uma equação linear mais simples. Vamos usar a substituição , onde é uma nova função de .

Passo 3

Aplicando a substituição , onde , a derivada de fica:
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar as frações:
Simplificando:
Essa equação ainda parece complicada, então vamos procurar uma outra abordagem.

Passo 5

Na verdade, uma abordagem mais direta para algumas Equações de Riccati é tentar encontrar uma solução particular assumindo uma forma para . Vamos tentar uma solução que seja um polinômio de primeiro grau, ou seja, , onde é uma função linear de .
Vamos supor que:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos e na equação original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 7

Expansão do lado direito:
Substituindo na equação:
Agrupando os termos por potências de :

Passo 8

Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais em ambos os lados. No lado esquerdo, temos apenas , que é uma constante. Portanto, igualamos os coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 9

Vamos resolver essas equações:
  1. De :
  2. De :
  3. De :
    Essa equação nos mostra que deve ser maior ou igual a 1, já que é sempre não negativo.
Vamos analisar as possíveis soluções:
  • Caso 1:
    De não tem solução real, já que é sempre .
  • Caso 2:
    De
    E de não é verdade. Conflito!
  • Caso 3:
    Apesar de não aparecer diretamente na solução de , vamos verificar:
    De
    E satisfaz as outras condições.

Passo 10

Então, encontramos que a solução particular assumindo a forma é:

Resposta

A solução particular da equação de Riccati dada é .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação de Riccati .
Resolva a equação de Riccati .
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a)
b)
c)
d)