Provar que es pentos A(m, 1,0), B(m-1,2 m, 2) e C(-4,7,2) sá ocitices de um triàngulo rutangulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . Nosso objetivo é provar que esses pontos formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a geometria analítica, calculando as distâncias entre os pontos e verificando se satisfazem o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e no espaço é:

Passo 3

Vamos calcular a distância AB = raiz( (m-1) - m )^2 + (2m - 1)^2 + (2 - 0)^2 = raiz(-1)^2 + (2m - 1)^2 + 2^2 = raiz1 + (2m - 1)^2 + 4 :

Passo 4

Simplificando AB = raiz(2m - 1)^2 + 5 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância AC = raiz(-4 - m)^2 + (7 - 1)^2 + (2 - 0)^2 = raiz(-4 - m)^2 + 6^2 + 2^2 = raiz(m + 4)^2 + 36 + 4 :

Passo 6

Simplificando AC = raiz(m + 4)^2 + 40 :

Passo 7

Vamos calcular a distância BC = raiz(-4 - (m - 1))^2 + (7 - 2m)^2 + (2 - 2)^2 = raiz(-m -3)^2 + (7 - 2m)^2 + 0^2 = raiz(m + 3)^2 + (7 - 2m)^2 :

Passo 8

Simplificando BC = raiz(m + 3)^2 + (7 - 2m)^2 :

Passo 9

Para o triângulo ser retângulo, uma das somas dos quadrados dos lados deve ser igual ao quadrado do lado maior. Vamos verificar isso:
AB^2 + BC^2 = (2m - 1)^2 + 5 + (m + 3)^2 + (7 - 2m)^2
Vamos expandir e simplificar:
(4m^2 - 4m + 1) + 5 + (m^2 + 6m + 9) + (4m^2 - 28m + 49) = 9m^2 - 26m + 64
Agora, AB^2 + BC^2 = 9m^2 - 26m + 64
Comparando:
AC^2 = m^2 + 8m + 56
9m^2 - 26m + 64 = m^2 + 8m + 56
Para que seja triângulo retângulo, precisa ser 8m^2 - 34m + 8 = 0 :

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática m = 34 pm raiz(-34)^2 - 4 cdot 8 cdot 82 cdot 8 = 34 pm raiz1156 - 25616 = 34 pm raiz90016 = 34 pm 3016 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
m = 34 + 3016 = 6416 = 4
Assim, temos duas soluções:
m = 34 - 3016 = 416 = 0,25

Resposta

Os valores de que fazem os pontos , e formarem um triângulo retângulo são e .

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