Provar que es pentos
e
sá ocitices de um triàngulo rutangulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço:
,
e
. Nosso objetivo é provar que esses pontos formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a geometria analítica, calculando as distâncias entre os pontos e verificando se satisfazem o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
no espaço é:
Passo 3
Vamos calcular a distância
:
Passo 4
Simplificando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância
:
Passo 6
Simplificando
:
Passo 7
Vamos calcular a distância
:
Passo 8
Simplificando
:
Passo 9
Para o triângulo ser retângulo, uma das somas dos quadrados dos lados deve ser igual ao quadrado do lado maior. Vamos verificar isso:
Vamos expandir e simplificar:
Agora,
Comparando:
Para que seja triângulo retângulo, precisa ser
:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que fazem os pontos
,
e
formarem um triângulo retângulo são
e
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcular:
Dados os pontos
e
e o vetor
, calcular:
Determine a solução para a equação:
Dados os vetores
e
, calcular: