Provar que es pentos e sá ocitices de um triàngulo rutangulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . Nosso objetivo é provar que esses pontos formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a geometria analítica, calculando as distâncias entre os pontos e verificando se satisfazem o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos e no espaço é:

Passo 3

Vamos calcular a distância :

Passo 4

Simplificando :

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância :

Passo 6

Simplificando :

Passo 7

Vamos calcular a distância :

Passo 8

Simplificando :

Passo 9

Para o triângulo ser retângulo, uma das somas dos quadrados dos lados deve ser igual ao quadrado do lado maior. Vamos verificar isso:
Vamos expandir e simplificar:
Agora,
Comparando:
Para que seja triângulo retângulo, precisa ser :

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que fazem os pontos , e formarem um triângulo retângulo são e .

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Dados os vetores e , calcular:
Dados os pontos e e o vetor , calcular:
Determine a solução para a equação:
Dados os vetores e , calcular: