Determine a solução para a equação:
d yd x+y ln (x)=x

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação diferencial . Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão . Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral ln(x) , dx , que é dado por:
Precisamos integrar .

Passo 4

Para integrar integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C , usamos a técnica de integração por partes. Seja:
  • mu(x) = e^x ln(x) - x = e^x ln(x) cdot e^-x = x^x e^-x
Aplicando a integração por partes:
Ignoramos a constante ao calcular o fator integrante, então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^x e^-x dydx + x^x e^-x y ln(x) = x^x e^-x cdot x :
ddx( y cdot x^x e^-x ) = x^x e^-x cdot x
Isso simplifica a equação para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a y cdot x^x e^-x = integral x^x e^-x cdot x , dx + C :
A integral do lado direito pode ser complexa e não ter uma solução em termos de funções elementares, mas continuamos assim para a solução geral.

Passo 7

Isolamos y = 1x^x e^-x ( integral x^x+1 e^-x , dx + C ) para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1x^x e^-x ( integral x^x+1 e^-x , dx + C )
onde é a constante de integração.

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