Resolva a equação diferencial:
d yd x+2 y=e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo dydx + 2y = e^3x. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica que ajuda a simplificar e encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, P(x) = 2 e Q(x) = e^3x. O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x), que é essencial para resolver a equação.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é calculado usando a fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 2:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução.

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante mu(x) = e^2x:
e^2x dydx + 2 e^2x y = e^2x cdot e^3x
Simplificando o lado direito:
e^2x cdot e^3x = e^5x
Então, a equação fica:
e^2x dydx + 2 e^2x y = e^5x

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x)y. Ou seja:
ddx ( e^2x y ) = e^5x
Isso simplifica a resolução porque podemos integrar ambos os lados diretamente.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^2x y ) dx = integral e^5x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^2x y, e a do lado direito é:
15 e^5x + C
Então, temos:
e^2x y = 15 e^5x + C

Passo 7

Para isolar y, dividimos ambos os lados por e^2x:
y = 15 e^5x cdot e^-2x + C e^-2x
Simplificando a expressão:
y = 15 e^3x + C e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 15 e^3x + C e^-2x

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