Resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica que ajuda a simplificar e encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver a equação.
Passo 3
O fator integrante
é calculado usando a fórmula:
Substituindo
:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução.
Passo 4
Agora, multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica a resolução porque podemos integrar ambos os lados diretamente.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Problema de Mistura: Um tanque contém 500 litros de água e está sendo misturado com uma solução que entra a 10 litros por minuto, tendo uma concentração de
. Escreva e resolva a equação que modela a quantidade de soluto
no tanque ao longo do tempo.
Sejam
e
e reta que contém os pontos
e
. Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de
em relação ao plano
.
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base
.
(b) Encontre , se
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base
(b) Encontre
Determine a solução para a equação: