Resolva a equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica que ajuda a simplificar e encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é essencial para resolver a equação.

Passo 3

O fator integrante é calculado usando a fórmula:
Substituindo :
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução.

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica a resolução porque podemos integrar ambos os lados diretamente.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Simplificando a expressão:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Problema de Mistura: Um tanque contém 500 litros de água e está sendo misturado com uma solução que entra a 10 litros por minuto, tendo uma concentração de . Escreva e resolva a equação que modela a quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo.
Sejam e e reta que contém os pontos e . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano .
Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .
Determine a solução para a equação: