Sejam alpha=u1=(1,1,0), u2=(2,1,1), u3=(-1,0,1) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u3, v2=u1+u2-2 u3 e v3=-u1+2 u3.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.
(b) Encontre [v]beta, se v=(-2,1,-1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mudança de base em espaços vetoriais. Temos duas bases no R^3, a base alpha e a base beta. Nosso objetivo é encontrar a matriz que faz a transição entre essas bases e, depois, encontrar as coordenadas de um vetor específico na base beta. Para isso, vamos precisar entender como as vetores de uma base são expressos na outra e usar conceitos de álgebra linear como matrizes e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores das bases alpha e beta. A base alpha é dada por:
alpha = u1=(1,1,0), u2=(2,1,1), u3=(-1,0,1)
E a base beta é definida em termos dos vetores de alpha:
beta = v1=u1-u3, v2=u1+u2-2 u3, v3=-u1+2 u3
Vamos primeiro expressar cada vetor de beta em termos das coordenadas da base alpha.

Passo 3

Calculando v1:
v1 = u1 - u3 = (1,1,0) - (-1,0,1) = (1+1, 1+0, 0-1) = (2,1,-1)
Calculando v2:
v2 = u1 + u2 - 2u3 = (1,1,0) + (2,1,1) - 2(-1,0,1) = (1+2+2, 1+1+0, 0+1-2) = (5,2,-1)
Calculando v3:
v3 = -u1 + 2u3 = -(1,1,0) + 2(-1,0,1) = (-1-2, -1+0, 0+2) = (-3,-1,2)

Passo 4

Agora que temos as coordenadas dos vetores de beta na base alpha, podemos construir a matriz de mudança de base. A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta, denotada por Palpha to beta, tem como colunas as coordenadas dos vetores de beta expressas na base alpha.
Então, montamos a matriz:
Palpha to beta = 2 & 5 & -3 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2

Passo 5

Para a parte (b), precisamos encontrar as coordenadas do vetor v = (-2,1,-1) na base beta, ou seja, [v]beta. Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos.
A relação entre as coordenadas é:
[v]beta = Palpha to beta^-1 [v]alpha
Primeiro, precisamos calcular o inverso de Palpha to beta.

Passo 6

Vamos calcular o inverso da matriz Palpha to beta. Utilizando métodos de álgebra linear (como a regra de Sarrus ou eliminação de Gauss), encontramos:
Palpha to beta^-1 = 1 & -3 & -2 -1 & 1 & 1 1 & 2 & 1

Passo 7

Agora, multiplicamos o inverso da matriz pela coordenada do vetor v na base alpha:
[v]beta = Palpha to beta^-1 -2 1 -1 = 1 & -3 & -2 -1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 -2 1 -1
Realizando a multiplicação:
[v]beta = (1)(-2) + (-3)(1) + (-2)(-1) (-1)(-2) + (1)(1) + (1)(-1) (1)(-2) + (2)(1) + (1)(-1) = -2 -3 +2 2 +1 -1 -2 +2 -1 = -3 2 -1

Resposta

(a) A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é
Palpha to beta = 2 & 5 & -3 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
(b) As coordenadas do vetor v=(-2,1,-1) na base beta são
[v]beta = -3 2 -1

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