Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mudança de base em espaços vetoriais. Temos duas bases no , a base e a base . Nosso objetivo é encontrar a matriz que faz a transição entre essas bases e, depois, encontrar as coordenadas de um vetor específico na base . Para isso, vamos precisar entender como as vetores de uma base são expressos na outra e usar conceitos de álgebra linear como matrizes e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores das bases e . A base é dada por:
E a base é definida em termos dos vetores de :
Vamos primeiro expressar cada vetor de em termos das coordenadas da base .
Passo 3
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora que temos as coordenadas dos vetores de na base , podemos construir a matriz de mudança de base. A matriz de mudança de base da base para a base , denotada por , tem como colunas as coordenadas dos vetores de expressas na base .
Então, montamos a matriz:
Passo 5
Para a parte (b), precisamos encontrar as coordenadas do vetor na base , ou seja, . Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos.
A relação entre as coordenadas é:
Primeiro, precisamos calcular o inverso de .
Passo 6
Vamos calcular o inverso da matriz . Utilizando métodos de álgebra linear (como a regra de Sarrus ou eliminação de Gauss), encontramos:
Passo 7
Agora, multiplicamos o inverso da matriz pela coordenada do vetor na base :
Realizando a multiplicação:
Resposta
(a) A matriz de mudança de base da base para a base é