Resolva a equação diferencial:
d yd x-4 y=2 e^2 x

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida:
d yd x - 4 y = 2 e^2 x
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a facilitar a resolução de equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. Ele é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo mu(x) = e^integral -4 , dx = e^-4x :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^-4x d yd x - 4 e^-4x y = 2 e^2x e^-4x :
2 e^2x - 4x = 2 e^-2x
Simplificando o lado direito:
e^-4x d yd x - 4 e^-4x y = 2 e^-2x
Então, a equação fica:

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto ddx ( e^-4x y ) = 2 e^-2x . Isso significa que:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx ( e^-4x y ) , dx = integral 2 e^-2x , dx :
integral 2 e^-2x , dx = - e^-2x + C
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente e^-4x y = - e^-2x + C . Do lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos y = - e^-2x cdot e^4x + C e^4x multiplicando ambos os lados por y = - e^2x + C e^4x :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C e^4x - e^2x
Onde é uma constante arbitrária.

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