Esboce o poliedro cujas faces estão contidas nos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos um poliedro cujas faces estão nos planos
,
,
,
e
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente a interação entre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção desses planos que formarão os vértices do poliedro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os planos coordenados:
é o plano yz,
é o plano xz e
é o plano xy. Esses são os planos que formam o sistema de coordenadas tridimensionais.
Passo 3
Agora, vamos considerar os planos adicionais
e
. Precisamos encontrar onde esses planos interceptam os planos coordenados para determinar os vértices do poliedro.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e os planos coordenados:
-
Interseção com
: Substituindo em , temos . Com e , precisamos de para estar no plano coordenado xy. Então, o ponto é . -
Interseção com
: Substituindo em , temos . Com e , no plano coordenado xz. Então, o ponto é .
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar os pontos de interseção entre
e os planos coordenados:
-
Interseção com
: Substituindo em , obtemos . Para encontrar um ponto específico, podemos fixar dois valores. Por exemplo, se , então , dando o ponto . -
Interseção com
: Substituindo em , temos . Fixando , temos , já identificado; escolhendo , , o ponto é . -
Interseção com
: Substituindo em . Se , então , dando , e se , , como já temos .
Passo 6
Agora, temos os seguintes pontos de interseção que serão os vértices do poliedro:
Passo 7
Com esses vértices, podemos visualizar o poliedro conectando-os pelas arestas formadas pelas interseções dos planos. Por exemplo, conectando
a
,
a
, e assim por diante, formando as faces do poliedro.
Resposta
O poliedro possui cinco vértices nos pontos
,
,
,
e
. O esboço conecta esses pontos formando as faces definidas pelos planos
,
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine a solução para a equação:
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base
.
(b) Encontre , se
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base
(b) Encontre
Resolva a equação diferencial:
Sabendo que
e
, calcular: