Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. Isso significa que temos uma relação que liga termos consecutivos de uma sequência. A equação dada é
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como achar a solução geral de uma equação de diferença desse tipo e depois aplicar as condições iniciais pra encontrar os valores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação pra facilitar:
. Isso mostra como cada termo depende de um termo dois passos antes. Agora, pra resolver essa equação, usamos a equação característica. A gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo
na equação
, temos:
Dividindo ambos os lados por
(e assumindo
), fica:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
:
Os valores de
são números complexos:
e
.
Passo 5
Quando as raízes da equação característica são complexas, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde
e
são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais, e
está relacionado ao coeficiente imaginário das raízes.
Passo 6
No nosso caso, as raízes são
, então a parte imaginária
é 4. Substituindo na solução geral:
Agora precisamos achar os valores de
e
usando
e
.
Passo 7
Primeiro, aplicamos
na solução:
Passo 8
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução da equação de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.