Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. Isso significa que temos uma relação que liga termos consecutivos de uma sequência. A equação dada é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como achar a solução geral de uma equação de diferença desse tipo e depois aplicar as condições iniciais pra encontrar os valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação pra facilitar: . Isso mostra como cada termo depende de um termo dois passos antes. Agora, pra resolver essa equação, usamos a equação característica. A gente assume que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação , temos:
Dividindo ambos os lados por (e assumindo ), fica:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica :
Os valores de são números complexos: e .

Passo 5

Quando as raízes da equação característica são complexas, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde e são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais, e está relacionado ao coeficiente imaginário das raízes.

Passo 6

No nosso caso, as raízes são , então a parte imaginária é 4. Substituindo na solução geral:
Agora precisamos achar os valores de e usando e .

Passo 7

Primeiro, aplicamos na solução:

Passo 8

Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução da equação de diferença com condições iniciais e , e determine .