Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
E as condições iniciais são e . Nosso objetivo é encontrar uma sequência que satisfaça essa equação e essas condições. Para resolver isso, vamos usar o método dos polinômios característicos, que ajuda a achar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação de diferença em um polinômio característico. Para uma equação assim:
Substituímos por , onde é uma raiz que estamos procurando. Isso nos dá:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):
Esse é o nosso polinômio característico.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), temos duas raízes complexas conjugadas:

Passo 4

Com as raízes complexas , a solução geral da equação de diferença é:
Mas para simplificar e deixar a expressão mais intuitiva, podemos escrever usando a forma trigonométrica (pela fórmula de Euler):
Onde e , são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Então, .
Para :
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabendo que e , substituímos:
Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Resposta

A solução da equação de diferença dada, satisfazendo as condições iniciais e , é:

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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução da equação de diferença com condições iniciais e , e determine .
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :