Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
E as condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é encontrar uma sequência que satisfaça essa equação e essas condições. Para resolver isso, vamos usar o método dos polinômios característicos, que ajuda a achar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação de diferença em um polinômio característico. Para uma equação assim:
Substituímos
por
, onde
é uma raiz que estamos procurando. Isso nos dá:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Esse é o nosso polinômio característico.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), temos duas raízes complexas conjugadas:
Passo 4
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação de diferença é:
Mas para simplificar e deixar a expressão mais intuitiva, podemos escrever usando a forma trigonométrica (pela fórmula de Euler):
Onde
e
,
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabendo que
e
, substituímos:
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Resposta
A solução da equação de diferença dada, satisfazendo as condições iniciais
e
, é:
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Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução da equação de diferença
com condições iniciais
e
, e determine
.
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :